정의
크라메르 법칙(또는 크래머 법칙)은 선형대수학에서 연립 일차 방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해를 행렬식(determinant)을 이용해 구하는 방법이다. 여기서 $A$는 계수 행렬, $\mathbf{x}$는 미지수 벡터, $\mathbf{b}$는 상수벡터이며, 방정식의 개수와 변수의 수가 동일하고 $\det(A)
eq 0$ 일 때 유일한 해를 제공한다.
수학적 공식
$A$의 행렬식을 $D = \det(A)$라 하고, $i$번째 미지수 $x_i$에 대해 $A$의 $i$번째 열을 $\mathbf{b}$로 교체한 행렬을 $A_i$라 하면,
$$
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} = \frac{D_i}{D}
$$
이며, 이는 모든 $i$에 대해 적용된다.
역사
크라메르 법칙은 스위스 제네바 출신의 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704 ~ 1752)가 그의 저서 Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques(1750)에서 처음 소개한 바 있다. 이후 같은 원리를 이용한 공식은 다른 학자들에 의해 독립적으로도 제시되었으며, 오늘날에는 크라메르의 이름을 따서 널리 알려져 있다.
적용 및 제한조건
- 방정식과 변수의 수가 동일하고, 계수 행렬 $A$의 행렬식이 0이 아니어야 한다(즉, $A$가 가역행렬이어야 함).
- 행렬식 계산이 복잡해지므로, 변수가 많을 경우 실용성은 감소한다. 일반적으로는 소규모 시스템(2 ~ 3개의 방정식)에서 사용되며, 대형 시스템에서는 가우스 소거법이나 LU 분해와 같은 다른 방법이 선호된다.
예시
$$
\begin{cases}
2x + 3y = 5 \
4x - y = 1
\end{cases}
$$
계수 행렬 $A = \begin{pmatrix}2 & 3 \ 4 & -1\end{pmatrix}$, 상수벡터 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}5 \ 1\end{pmatrix}$이다.
$D = \det(A) = (2)(-1) - (3)(4) = -2 - 12 = -14$.
$A_x$는 첫 번째 열을 $\mathbf{b}$로 교체한 행렬: $\begin{pmatrix}5 & 3 \ 1 & -1\end{pmatrix}$, $D_x = (5)(-1) - (3)(1) = -5 - 3 = -8$.
$A_y$는 두 번째 열을 교체한 행렬: $\begin{pmatrix}2 & 5 \ 4 & 1\end{pmatrix}$, $D_y = (2)(1) - (5)(4) = 2 - 20 = -18$.
따라서
$x = D_x / D = (-8)/(-14) = 4/7,\quad y = D_y / D = (-18)/(-14) = 9/7.$
참고 문헌
- 위키백과, “크라메르 법칙”. (2023년 기준)
- Gabriel Cramer, Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (1750).
