콜모고로프-아르놀트-모저 정리(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 해밀턴 역학에서 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 내용의 정리이다. 이 정리는 소련의 수학자 안드레이 콜모고로프가 1954년에 최초로 발표하였고, 블라디미르 아르놀트가 1963년에 엄밀한 증명을 완성하였으며, 위르겐 모저가 1962년에 별도의 증명을 제시함으로써 완성되었다. 세 수학자의 이름을 따서 KAM 정리 또는 KAM 이론이라고도 불린다.
배경
해밀턴 역학에서 적분가능계(integrabale system)는 작용-각도 변수(action-angle variables)를 사용하여 완전히 풀 수 있는 계로, 그 위상 공간은 불변 원환면(invariant torus)들로 채워져 있다. 이러한 계에 작은 섭동(perturbation)이 가해질 경우, 기존의 불변 원환면이 완전히 파괴되는지 아니면 일부가 유지되는지 여부는 고전 역학의 섭동 이론에서 오랫동안 난제로 남아 있었다. 특히 천체 역학에서 행성의 장기적 안정성 문제와 관련하여 중요한 의미를 지닌다.
정리의 내용
2n차원 심플렉틱 다양체 위의 적분가능계가 작용 변수 I와 각도 변수 θ로 주어지고, 해밀토니언 H₀(I)가 작용 변수에만 의존한다고 할 때, 여기에 충분히 작은 섭동항 V(I, θ)를 추가한 해밀토니언 H = H₀ + V를 고려한다.
KAM 정리에 따르면, 다음 두 조건을 만족하는 경우 충분히 작은 섭동 V에 대하여 원래 계의 준주기적 해가 그대로 존재한다.
- 주파수 벡터 ω = ∂H₀/∂I가 디오판토스 벡터(Diophantine vector) 조건을 만족할 것. 즉, 임의의 정수 벡터 u ∈ ℤⁿ{0}에 대하여 |u·ω| ≥ a(|u₁|+⋯+|uₙ|)^⁻ᵇ를 만족시키는 양의 상수 a, b가 존재할 것.
- 헤세 행렬 ∂²H₀/∂Iᵢ∂Iⱼ가 가역 행렬(비퇴화 조건)일 것.
르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터이므로, 이 조건을 만족하는 주파수는 측도론적으로 대부분을 차지한다. 따라서 섭동이 충분히 작다면 적분가능계의 불변 원환면 중 대부분이 보존되며, 다만 섭동의 크기가 커질수록 보존되는 원환면의 비율은 감소하고 점차 카오스적 운동이 나타난다.
의의
KAM 정리는 고전 섭동 이론의 난제였던 '작은 분모 문제(small divisor problem)'를 해결하는 중요한 돌파구를 제공하였다. 이 정리는 해밀턴 계에서 질서 있는 운동과 카오스적 운동 사이의 전이를 이해하는 기초를 마련하였으며, 천체 역학(행성 운동의 장기 안정성), 플라즈마 물리학, 가속기 물리학, 분자 동역학 등 다양한 분야에 응용된다.
