코호몰로지 환은 위상수학 및 대수학에서, 공간의 코호몰로지 군에 자연스럽게 부여되는 대수적 구조인 결합 연산( cup product )을 포함한 환 구조를 의미한다. 일반적으로 위상공간 $X$에 대하여, 그와 관련된 코호몰로지 군 $H^{}(X;R)$ (여기서 $R$은 계수 링) 에서 차수에 따라 직접합을 취한 $\displaystyle H^{}(X;R)=\bigoplus_{k\ge 0}H^{k}(X;R)$ 에서 정의되는 결합 연산 $$ \smile : H^{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\longrightarrow H^{p+q}(X;R) $$ 을 사용하여 얻어지는 환을 말한다. 이때 $(H^{*}(X;R),\smile)$ 를 코호몰로지 환이라고 부른다.
정의
-
코호몰로지 군
위상공간 $X$와 계수 링 $R$이 주어지면, $X$의 $k$차 코호몰로지 군 $H^{k}(X;R)$는 대수적 토포로지에서 정의되는 호몰로지 이론의 대수적 쌍대 개념이다. -
Cup product
두 코호몰로지 원소 $\alpha\in H^{p}(X;R)$, $\beta\in H^{q}(X;R)$에 대해 $$ \alpha\smile\beta \in H^{p+q}(X;R) $$ 로 정의되는 연산이다. 이 연산은- 결합법칙 $(\alpha\smile\beta)\smile\gamma = \alpha\smile(\beta\smile\gamma)$
- 그레이드 가환성 $\alpha\smile\beta = (-1)^{pq}\beta\smile\alpha$
- 단위원소 존재 (보통 $1\in H^{0}(X;R)$ 가 단위)
을 만족한다.
-
코호몰로지 환
위 두 요소를 합쳐 $$ H^{}(X;R)=\bigoplus_{k\ge0}H^{k}(X;R) $$ 에 대해 $(\smile)$ 연산을 정의함으로써 얻어지는 그레이드 환(graded ring)이다. 차수 $k$의 원소들 사이의 곱은 차수의 합을 갖는 원소로 들어가며, 전형적인 경우 $R$이 교환환이면 $H^{}(X;R)$ 역시 교환그레이드 환이 된다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 그레이드 가환성 | 차수 $p,q$에 대해 $\alpha\smile\beta = (-1)^{pq}\beta\smile\alpha$ |
| 분배법칙 | $\alpha\smile(\beta+\gamma)=\alpha\smile\beta+\alpha\smile\gamma$ (모든 차수) |
| 단위원소 | $1\in H^{0}(X;R)$ 가 곱의 항등원 |
| 관계성 | $\smile$ 연산은 코차인 복합체의 체인지도에 의해 유도되며, 코홈올로지 사상에 대해 자연스럽다 |
| 코호몰로지 환 동형사상 | 위상동형사상 $f: X\to Y$ 가 주어지면, $f^{}:H^{}(Y;R)\to H^{*}(X;R)$ 가 환 동형사상이 된다 |
| Künneth 정리와의 연계 | 두 공간의 직적체 $X\times Y$ 의 코호몰로지 환은 Künneth 정리를 통해 $H^{}(X;R)$와 $H^{}(Y;R)$ 의 텐서곱 구조와 관련된다 |
대표적인 예시
-
구형 $S^{n}$
$$ H^{*}(S^{n};\mathbb{Z}) \cong \begin{cases} \mathbb{Z} & \text{if } k=0 \text{ or } k=n,\ 0 & \text{otherwise}, \end{cases} $$ 여기서 비자명한 원소 $x\in H^{n}(S^{n};\mathbb{Z})$ 는 차수가 $n$ 인 원소이며, 차수가 양수이므로 $x\smile x=0$. 따라서 코호몰로지 환은 $\mathbb{Z}[x]/(x^{2})$ 형태와 동형이다. -
복소 프로젝트 공간 $\mathbb{C}P^{n}$
$$ H^{*}(\mathbb{C}P^{n};\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^{n+1}), $$ 여기서 $\alpha$ 는 차수 $2$ 의 생성원이다. 이 경우 코호몰로지 환은 차수가 짝수인 다항식 환으로, $\alpha^{k}$ 가 차수 $2k$ 의 기본 클래스를 나타낸다. -
토러스 $T^{2}=S^{1}\times S^{1}$
$$ H^{*}(T^{2};\mathbb{Z}) \cong \Lambda_{\mathbb{Z}}(a,b), $$ 여기서 $a,b$ 은 차수 $1$ 의 1-코호몰로지 원소이며, 외곽 대수(Exterior algebra) 구조 $\Lambda$ 가 코호몰로지 환을 이룬다. 즉, $a\smile a = b\smile b =0$ 이고 $a\smile b = -b\smile a$.
관련 개념
- 코호몰로지 군: 코호몰로지 환을 구성하는 기본적인 대수적 객체.
- 컵 곱(Cup product): 코호몰로지 환의 곱 연산.
- 외곽 대수(Exterior algebra): 차수가 1인 원소들의 반가환 구조, 토러스와 같은 경우 코호몰로지 환과 일치한다.
- 다항식 환(Polynomial ring): 복소 프로젝트 공간 등에서 코호몰로지 환이 다항식 형태를 띤다.
- Künneth 정리: 두 공간의 코호몰로지 환을 텐서곱 형태로 계산하는 도구.
참고문헌
- H. Cartan, Samuel Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956.
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002.
- J. Milnor, J. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974.
(위 서적들은 코호몰로지 환 및 cup product에 관한 기본적인 정의와 성질을 다루고 있다.)