코쥘 복합체(Koszul complex)는 가환대수학과 호몰로지 대수학에서 사용되는 수학적 개념으로, 가환환 위의 가군 및 그 가군에서 환으로 가는 특별한 준동형으로부터 정의되는 사슬 복합체(chain complex)이자 미분 등급 대수(differential graded algebra)이다. 프랑스의 수학자 장루이 코쥘(Jean-Louis Koszul, 1921~2018)이 1950년에 리 대수 코호몰로지(Lie algebra cohomology)를 정의하기 위해 처음 도입하였다.
정의
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정한다.
- (단위원을 갖는) 가환환 $R$
- $R$ 위의 가군 $M$
- $R$-가군 준동형 $\phi : M \to R$
이때, 외대수(exterior algebra) $K_\bullet = \bigwedge^\bullet M$은 쐐기곱(wedge product)을 통해 결합 등급 가환 $R$-대수를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상(boundary map)을 정의한다.
$$ \partial_i : K_i \to K_{i-1}, \quad \partial_i(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \phi(e_i) , e_1 \wedge \cdots \wedge \hat{e}_i \wedge \cdots \wedge e_n $$
여기서 $\hat{e}i$는 해당 항을 생략한다는 의미이다. $\partial_i \circ \partial{i+1} = 0$이 성립하므로, $(K_\bullet(R, M, \phi), \partial)$은 사슬 복합체이자 미분 등급 대수를 이룬다. 이를 코쥘 복합체라고 한다.
이 복합체의 호몰로지를 코쥘 호몰로지(Koszul homology)라고 하며, 그 쌍대 복합체의 코호몰로지를 코쥘 코호몰로지(Koszul cohomology)라고 한다.
예시
- $M = R$이고 $\phi : r \mapsto xr$ ($x \in R$)인 경우, 코쥘 복합체는 $0 \to R \xrightarrow{x} R \to 0$이 된다. 이때 $H_0 = R/(x)$, $H_1 = \operatorname{Ann}_R(x) = { r \in R : rx = 0 }$이다.
- $M = R^n$(자유 가군)이고 $\phi : (r_1, \dots, r_n) \mapsto x_1 r_1 + \cdots + x_n r_n$인 경우, $K_i = \bigwedge^i R^n \cong R^{\binom{n}{i}}$가 되며 복합체의 길이는 $n+1$이 된다.
성질 및 활용
코쥘 복합체는 가환대수학에서 정규열(regular sequence)의 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 원소들의 열이 정규열일 필요충분조건은 그에 대응하는 코쥘 복합체의 고차 호몰로지가 모두 0이 되는 것이다. 또한 대수다양체나 스킴 위의 연접층의 층 코호몰로지를 코쥘 코호몰로지의 귀납적 극한으로 계산할 수 있다. 코쥘 복합체는 리 대수 코호몰로지, 국소 코호몰로지, 교차 이론(intersection theory) 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 사용된다.
