코시-오일러 방정식(영어: Cauchy–Euler equation) 또는 오일러-코시 방정식(Euler–Cauchy equation), 혹은 단순히 오일러 방정식(Euler equation)은 미분 방정식의 일종으로, 형태가 특수한 선형 상미분 방정식이다. 변수 계수를 가지지만, 그 계수들의 형태가 미분 항의 차수와 관련되어 있어 특정한 풀이법을 통해 해를 구할 수 있다.
정의 및 일반형
일반적인 n차 코시-오일러 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다: $$a_n x^n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1 x \frac{dy}{dx} + a_0 y = g(x)$$ 여기서 $a_0, a_1, \ldots, a_n$은 상수 계수이며, $x$는 독립 변수, $y$는 종속 변수이다. 각 항에서 $k$차 미분 항 $\frac{d^k y}{dx^k}$에 $x^k$가 곱해져 있는 것이 특징이다.
만약 $g(x) = 0$이면, 이 방정식은 동차 코시-오일러 방정식(homogeneous Cauchy–Euler equation)이 된다.
해법
코시-오일러 방정식은 다음 두 가지 주요 방법으로 풀 수 있다.
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시험해 $y = x^r$ 이용 (동차 방정식의 경우) 동차 코시-오일러 방정식의 일반적인 해를 찾기 위해, $y = x^r$ 형태의 시험해를 가정한다. $y', y'', \ldots$를 계산하여 원래 방정식에 대입하면, $x^r$로 묶이는 대수 방정식이 얻어지는데, 이를 특성 방정식(characteristic equation) 또는 보조 방정식(auxiliary equation)이라고 한다. 특성 방정식의 근 $r$의 종류에 따라 일반해가 다음과 같이 달라진다. (주로 $x > 0$인 경우를 가정한다. $x < 0$인 경우 $|x|^r$로 대체하여 사용한다.)
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서로 다른 실근 ($r_1, r_2, \ldots, r_n$): 일반해는 $y_h = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2} + \cdots + c_n x^{r_n}$ 이다.
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중복되는 실근 ($r$이 $k$개의 중복도를 가질 때): 중복되는 근 $r$에 대해 해는 $x^r, x^r \ln x, x^r (\ln x)^2, \ldots, x^r (\ln x)^{k-1}$ 이 된다. 예를 들어, $r_1$이 2개의 중복도를 가진다면, $y_h = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_1} \ln x$ 이다.
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복소 켤레근 ($r = \alpha \pm i\beta$): 일반해는 $y_h = x^\alpha (c_1 \cos(\beta \ln x) + c_2 \sin(\beta \ln x))$ 이다.
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변수 변환 $x = e^t$ (또는 $t = \ln x$) 이용 이 방법은 코시-오일러 방정식을 상수 계수를 가지는 선형 상미분 방정식으로 변환하여 푸는 것이다. $x = e^t$ (따라서 $t = \ln x$)로 치환하면, 연쇄 법칙에 의해 도함수들이 다음과 같이 변환된다:
- $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt}$
- $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right)$
- $\frac{d^3 y}{dx^3} = \frac{1}{x^3} \left( \frac{d^3 y}{dt^3} - 3 \frac{d^2 y}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} \right)$ 이러한 변환을 원래 방정식에 대입하면, $t$에 대한 상수 계수 선형 상미분 방정식이 되며, 이는 표준적인 방법(특성 방정식을 이용한 풀이 등)으로 해를 구할 수 있다. 마지막으로 $t = \ln x$를 다시 대입하여 $x$에 대한 해를 얻는다.
비동차 코시-오일러 방정식
$g(x) eq 0$인 비동차 코시-오일러 방정식의 해는 동차 방정식의 일반해 $y_h$와 특수해 $y_p$의 합, 즉 $y = y_h + y_p$로 표현된다. 특수해 $y_p$는 주로 매개변수 변환법(variation of parameters)이나 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 이용하여 구할 수 있다.
활용
코시-오일러 방정식은 주로 물리학 및 공학 분야에서 원통형 대칭 문제나 스케일 불변성을 가지는 현상을 모델링할 때 나타난다. 예를 들어, 열 전도 문제, 파동 방정식, 유체 역학 문제 등에서 사용될 수 있다.