코시-오일러 방정식(Cauchy–Euler equation)은 선형 동차 상미분 방정식의 한 유형으로, 변수 계수를 가지지만 특수한 구조로 인해 해를 명시적으로 구할 수 있는 방정식이다. 오일러-코시 방정식(Euler–Cauchy equation)이라고도 불린다.
정의
n차 코시-오일러 방정식은 미지 함수 $y(x)$에 대하여 다음과 같은 n차 상미분 방정식의 형태를 가진다.
$$ a_n x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0 $$
여기서 $a_0, a_1, \dots, a_n$은 주어진 상수 계수들이다. 이 방정식의 특징은 각 항의 계수가 $x^k$의 형태로, 미분 계수(order)와 동일한 차수의 거듭제곱이 곱해져 있다는 점이다.
2차 코시-오일러 방정식
가장 일반적으로 다루어지는 형태는 2차 방정식으로, 다음과 같다.
$$ x^2 y'' + a x y' + b y = 0 $$
이 방정식은 $y = x^m$ 형태의 해를 가정하여 풀이할 수 있다. 이를 원래 방정식에 대입하면 다음의 보조방정식(특성방정식)을 얻는다.
$$ m^2 + (a-1)m + b = 0 $$
보조방정식의 근의 성질에 따라 일반해는 세 가지 경우로 나뉜다.
| 근의 종류 | 일반해 |
|---|---|
| 서로 다른 두 실근 $m_1, m_2$ | $y = c_1 x^{m_1} + c_2 x^{m_2}$ |
| 중근 $m$ | $y = (c_1 + c_2 \ln x) x^m$ |
| 켤레복소근 $m = \alpha \pm i\beta$ | $y = x^\alpha \left[ A \cos(\beta \ln x) + B \sin(\beta \ln x) \right]$ |
변수 변환을 통한 풀이
코시-오일러 방정식은 $x = e^t$로 치환하면 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식으로 변환할 수 있다. 이 경우 2차 방정식은 다음과 같이 변환된다.
$$ \frac{d^2 y}{dt^2} + (a-1)\frac{dy}{dt} + b y = 0 $$
이렇게 변환된 방정식은 상수 계수 선형 미분방정식의 표준적인 해법으로 풀이할 수 있으며, 이후 $t = \ln x$를 대입하여 원래 변수에 대한 해를 얻는다.
비동차 방정식
비동차항을 포함하는 코시-오일러 방정식의 경우, 먼저 대응하는 동차 방정식의 일반해를 구한 뒤, 매개변수 변환법(variation of parameters)이나 미정계수법(method of undetermined coefficients)을 적용하여 특수해를 구할 수 있다. 변수 변환을 통해 상수 계수 비동차 방정식으로 변환한 후 해를 구하는 방법도 사용된다.
활용
코시-오일러 방정식은 극좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때, 또는 특정한 형태의 변수 계수 미분방정식을 다룰 때 자주 등장한다. 공학, 물리학, 특히 유체역학과 전기 회로 이론 등에서 응용된다. 이 방정식의 명칭은 프랑스의 수학자 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)와 스위스의 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름에서 유래하였다.
