코시 응집판정법(Cauchy condensation test)은 19세기 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법이다. 이 판정법은 음이 아닌 실수로 이루어진 감소수열(단조감소수열)에 대한 급수의 수렴성을, 원래 급수의 항 중에서 2의 거듭제곱 번째 항만을 추려 재구성한 '응집된(condensed) 급수'의 수렴성으로 귀결시킨다.
정의
수열 {aₙ}이 실수열이고 임의의 자연수 n에 대해 aₙ ≥ 0이며 aₙ ≥ aₙ₊₁ (단조감소)일 때, 다음 두 급수의 수렴성은 동치이다.
- 원래 급수: ∑ₙ₌₁^∞ aₙ
- 응집 급수: ∑ₙ₌₀^∞ 2ⁿ a₂ⁿ
즉, ∑ₙ₌₁^∞ aₙ이 수렴할 필요충분조건은 ∑ₙ₌₀^∞ 2ⁿ a₂ⁿ이 수렴하는 것이다.
또한 원래 급수의 합 S에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
∑ₙ₌₁^∞ aₙ ≤ ∑ₙ₌₀^∞ 2ⁿ a₂ⁿ ≤ 2∑ₙ₌₁^∞ aₙ
특징
이 판정법의 특징은 원래 급수의 극히 소수의 항(2의 거듭제곱 번째 항)만을 이용하여 전체 급수의 수렴성을 판정할 수 있다는 점이다. 특히 일반항에 로그 함수가 포함된 급수나, 일반항이 분모에 있는 형태의 급수에서 유용하게 사용된다.
예시
조화급수: ∑ₙ₌₁^∞ 1/n의 경우, 응집 급수는 ∑ₙ₌₀^∞ 2ⁿ · (1/2ⁿ) = ∑ₙ₌₀^∞ 1이 되어 발산하므로, 조화급수도 발산함을 쉽게 알 수 있다.
p-급수: ∑ₙ₌₁^∞ 1/nᵖ (p > 0)의 경우, 응집 급수는 ∑ₙ₌₀^∞ 2ⁿ · (1/2ⁿ)ᵖ = ∑ₙ₌₀^∞ (2^(1-p))ⁿ이 되어, 등비급수의 수렴 조건에 따라 p > 1일 때 수렴하고 p ≤ 1일 때 발산한다.
일반화된 로그 급수: ∑ 1/{nᵖ⁰ (ln n)ᵖ¹ (ln ln n)ᵖ² ···} 꼴의 급수는 코시 응집판정법을 반복 적용하여, 처음으로 1이 아닌 지수가 1보다 크면 수렴하고 1보다 작거나 같으면 발산함을 보일 수 있다.
증명 개요
부분합에 관한 다음 부등식을 증명함으로써 판정법이 성립한다.
∑ₙ₌₁^(2^(k+1)-1) aₙ ≤ ∑ₙ₌₀^k 2ⁿ a₂ⁿ ≤ 2∑ₙ₌₁^(2^k) aₙ
이 부등식은 원래 급수의 항을 2의 거듭제곱 단위로 묶고, 수열의 단조감소성을 이용하여 각 묶음을 비교함으로써 얻어진다. 두 급수의 부분합이 서로 유계성을 공유하므로, 단조수렴정리에 의해 수렴성이 동치가 된다.
