가환대수학과 대수기하학에서 켈러 미분(영어: Kähler differential)은 (아핀 스킴으로 여긴) 가환환 또는 일반적인 스킴 위에 대수적으로 정의할 수 있는 미분 형식의 일종이다. 독일의 수학자 에리히 켈러(Erich Kähler)의 이름에서 유래하였다.
정의
가환환 $R$과 $S$ 사이의 환 준동형 사상 $\phi \colon R \to S$가 주어졌을 때, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 $S$-가군 $\Omega_{S/R}$과 미분 $d \colon S \to \Omega_{S/R}$을 생각할 수 있다.
- $d$는 $R$-가군의 준동형이다.
- (곱 규칙) $d$는 미분 연산자이다. 즉, 임의의 $s, t \in S$에 대하여 $d(st) = s \cdot (dt) + t \cdot (ds)$가 성립한다.
- 위 두 조건을 만족시키는 임의의 $S$-가군 $M'$과 $d' \colon S \to M'$에 대하여, $d' = f \circ d$를 만족하는 $S$-가군 준동형 $f \colon \Omega_{S/R} \to M'$이 유일하게 존재한다.
이러한 $d \colon S \to \Omega_{S/R}$은 항상 존재하며, 이를 켈러 미분의 가군 $\Omega_{S/R}$이라고 한다.
보다 일반적으로, 스킴의 사상 $X \to Y$가 주어졌을 때, $d \colon \mathcal{O}X \to \Omega{X/Y}$는 위와 유사한 보편 성질을 만족시키는 $\mathcal{O}_Y$-가군층으로 정의된다.
의의
켈러 미분은 대수기하학에서 매끄러운 스킴 위의 여접다발(cotangent bundle)을 대수적으로 정의하는 핵심적인 도구이다. 켈러 미분의 가군 $\Omega_{S/R}$은 미분 형식들의 가군으로 이해할 수 있으며, 이로부터 더 높은 차수의 미분 형식들은 그 외대수(exterior algebra)를 취하여 얻어진다. 켈러 미분의 개념은 미분 가능 다양체 위의 미분 형식과 유사한 역할을 대수적 대상 위에서 수행하며, 미분 연산자, 미분 가군, 미분 자리수(differential graded algebra) 등의 이론으로 확장된다.
