칼레손의 정리(영어: Carleson's theorem)는 수학의 해석학, 특히 조화해석학 분야에 속하는 정리이다. 스웨덴의 수학자 렌나르트 칼레손(Lennart Carleson, 1928~)이 1966년에 증명하였으며, 그 이름에서 정리의 명칭이 유래하였다.
이 정리는 L² 공간에 속하는 함수의 푸리에 급수(Fourier series)가 거의 모든 점(almost everywhere)에서 원래 함수로 점별 수렴(pointwise convergence)한다는 내용이다. 즉, 제곱적분 가능한 함수의 푸리에 급수는 측도 0인 집합을 제외한 모든 점에서 원래 함수의 값으로 수렴한다. 이는 1915년 러시아 수학자 니콜라이 루진(Николай Николаевич Лузин)이 제시한 추측(루진의 추측, Luzin's conjecture)이 약 50년 만에 증명된 것으로, 당시 해석학계의 난제였다.
이 정리의 의미를 역사적 맥락에서 살펴보면 다음과 같다. 19세기 초 푸리에 급수가 발견된 이후 연속 함수의 푸리에 급수가 모든 점에서 원래 함수로 수렴하는지 여부는 오랜 미해결 문제였다. 1876년 파울 뒤 부아레몽(Paul du Bois-Reymond)이 푸리에 급수가 특정 한 점에서 발산하는 연속 함수의 예를 발견하면서, 모든 점에서의 수렴은 성립하지 않음이 밝혀졌다. 이후 1923년 안드레이 콜모고로프(Андрей Николаевич Колмогоров)는 거의 모든 곳에서 푸리에 급수가 발산하는 L¹ 함수의 예를 발견하였다. 이러한 상황에서 칼레손의 증명은 L² 함수에 대해서는 거의 모든 점에서 수렴이 성립함을 보여준 획기적인 결과였다.
1968년 미국 수학자 리처드 헌트(Richard Hunt)는 칼레손의 결과를 확장하여 p ∈ (1, ∞)일 때 Lp 함수에 대해서도 동일한 결과가 성립함을 증명하였다. 이에 따라 이 정리는 칼레손-헌트 정리(Carleson-Hunt theorem)로도 불린다. 다만 p = 1인 경우(L¹ 함수)에는 성립하지 않는데, 이는 앞서 콜모고로프가 제시한 반례에 의해 확인된다.
푸리에 변환(Fourier transform)에 대해서도 유사한 결과가 성립한다. 즉, p ∈ (1, ∞)일 때 함수 f ∈ Lp(ℝ)의 푸리에 변환에 대해, 그 역변환을 반지름이 증가하는 구간에서 적분하면 거의 모든 점에서 원래 함수로 수렴한다.
이 정리는 현대 조화해석학의 가장 중요한 결과 중 하나로 평가되며, 칼레손의 증명 이후 여러 수학자들에 의해 증명의 단순화와 다양한 확장이 이루어졌다.
