카스너 계량(Kasner metric)은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대한 엄밀 해의 하나로, 물질이 없는 진공 상태에서의 이방성 우주를 기술한다. 1921년 미국의 수학자 에드워드 카스너(Edward Kasner)에 의하여 개발되었으며 그의 이름을 따서 명명되었다.
카스너 계량은 D > 3인 임의의 시공간 차원에서 기술될 수 있으며, 중력 혼돈(gravitational chaos) 연구와 강한 연관성을 가진다.
계량과 조건
D차원 시공간에서 카스너 계량은 다음과 같은 형태로 표현된다.
ds² = -dt² + ∑ᵢ t^{2pᵢ} [dxⁱ]² (i = 1, ..., D-1)
여기서 pᵢ는 카스너 지수(Kasner exponent)라고 불리는 상수들이다. 이 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하며, 공간은 각 방향으로 pᵢ 값에 따라 서로 다른 비율로 팽창하거나 수축한다.
카스너 계량이 진공 아인슈타인 방정식의 엄밀해가 되기 위해서는 카스너 지수가 다음의 두 가지 카스너 조건(Kasner conditions)을 만족해야 한다.
- ∑ pᵢ = 1
- ∑ pᵢ² = 1
첫 번째 조건은 카스너 평면(Kasner plane)을 정의하고, 두 번째 조건은 카스너 구(Kasner sphere)를 정의한다. 두 조건을 동시에 만족하는 해는 이 두 조건이 교차하는 구면 위에 존재하며, D차원 시공간에서 해의 공간은 (D-3)차원의 구 S^(D-3) 위에 놓인다.
특징
카스너 해의 주요 특징은 다음과 같다.
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공간 조각의 부피는 항상 O(t)이다. 이는 −g(시공간의 부피 요소)가 t^(∑pᵢ) = t¹ = t에 비례하기 때문이다. 따라서 t → 0일 때 빅뱅(Big Bang) 또는 빅 크런치(Big Crunch)를 설명할 수 있다.
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공간의 등방성 팽창 또는 수축은 허용되지 않는다. 모든 방향으로 등방성 팽창을 가정하면 모든 카스너 지수가 동일해야 하고(pᵢ = 1/(D-1)), 이 경우 두 번째 조건(∑pᵢ² = 1/(D-1) ≠ 1)을 만족시킬 수 없기 때문이다. 이와 대조적으로 우주론에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량은 물질의 존재로 인해 등방성 팽창 또는 수축이 가능하다.
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하나의 pᵢ = 1이고 나머지가 0인 특수한 경우를 제외하면, 적어도 하나의 카스너 지수는 항상 음수이다. 이는 시간이 흐름에 따라 공간의 부피는 증가하지만, 적어도 하나의 방향에서는 실제로 수축이 일어난다는 것을 의미한다.
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카스너 계량은 진공 아인슈타인 방정식의 해이므로 리치 텐서(Ricci tensor)는 항상 소멸한다. 전체 리만 텐서(Riemann tensor)는 하나의 pᵢ = 1이고 나머지가 0인 경우에만 소멸하며, 이때 공간은 평평해진다.
카스너 계량은 BKL 특이점(BKL singularity) 및 믹스마스터 우주(Mixmaster universe) 연구와 밀접하게 관련되어 있으며, 초기 우주의 특이점 근처에서의 역학을 이해하는 데 중요한 이론적 도구로 사용된다.
