치환 적분(置換積分, 영어: integration by substitution)은 미적분학에서 기존의 적분 변수를 새로운 변수로 치환하여 적분을 수행하는 기법이다. 합성함수의 미분에 대한 연쇄 법칙(chain rule)을 적분에 역으로 적용한 것으로, 복잡한 형태의 함수를 보다 간단한 형태로 변환하여 적분을 용이하게 하는 데 목적이 있다. 부분적분법과 함께 미적분학의两大 기본 적분 기법으로 꼽힌다.
정의
부정적분의 경우, 구간 I ⊆ ℝ와 함수 g: I → ℝ 및 f: g(I) → ℝ이 주어졌다고 할 때, f의 부정적분 F가 존재하고 g가 미분 가능 함수라면 다음이 성립한다.
∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du = F(g(x)) + C (단, u = g(x))
이는 곧 합성함수 f(g(x))에 g'(x)가 곱해진 형태의 피적분 함수를, 새로운 변수 u = g(x)로 치환하여 적분하는 방법이다.
정적분의 경우, g: [a, b] → ℝ가 연속 미분 가능 함수이고 f: g([a, b]) → ℝ가 연속 함수라면 다음이 성립한다.
∫_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(g(t)) g'(t) dt
정적분에서는 치환에 따라 적분 구간도 함께 변환되며, 원래 변수로 되돌릴 필요 없이 새 변수에 대응되는 구간에서 직접 적분을 계산할 수 있다.
원리
치환 적분의 핵심은 연쇄 법칙 (F ∘ g)'(x) = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) g'(x)에 기반한다. 즉, f의 원함수 F에 대하여 F(g(x))를 미분하면 f(g(x)) g'(x)가 되므로, 역으로 f(g(x)) g'(x)를 적분하면 F(g(x)) + C를 얻는다. 이때 u = g(x)로 두면 du = g'(x) dx가 되어 ∫ f(u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C의 형태로 정리된다.
주요 응용
- 홀함수와 짝함수의 적분: 대칭 구간 [-a, a]에서 홀함수의 적분은 0, 짝함수의 적분은 0에서 a까지 적분의 2배가 됨을 치환 적분으로 증명할 수 있다.
- 주기 함수의 적분: 주기 T를 가지는 연속 함수의 한 주기 동안의 적분값은 적분 구간의 시작점에 관계없이 일정함을 치환 적분으로 보일 수 있다.
- 삼각 치환: √(a² - x²), √(a² + x²), √(x² - a²) 형태의 식을 포함한 적분에서 x = a sin t, x = a tan t, x = a sec t 등의 삼각 함수로 치환하여 적분하는 기법이다.
예시
부정적분 ∫ √(2x+1) dx에서 u = 2x+1로 치환하면 du = 2 dx, dx = du/2이므로
∫ √(2x+1) dx = ∫ √u · (du/2) = (1/2) ∫ u^{1/2} du = (1/3) u^{3/2} + C = (1/3)(2x+1)^{3/2} + C
와 같이 계산된다.
어원
'치환 적분'의 '치환(置換)'은 '바꾸어 놓다' 또는 '대체하다'는 뜻의 한자어로, 적분 변수를 다른 변수로 대체하는 조작을 가리킨다. 영어 명칭 'integration by substitution'에서 'substitution'은 '대입' 또는 '치환'을 의미한다.
