축소환(縮小環, 영어: reduced ring)은 환론(環論)에서 사용되는 수학적 개념으로, 0이 아닌 멱영원(冪零元)을 갖지 않는 환(環)을 말한다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소의 거듭제곱이 항상 0이 되지 않는 환이다.
정의
(곱셈 단위원을 갖는) 환 R에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 축소환이라고 한다.
- 0이 아닌 모든 원소는 멱영원이 아니다. 즉, 임의의 0이 아닌 원소 r ∈ R∖{0} 및 양의 정수 n에 대하여 rⁿ ≠ 0이다.
- 임의의 0이 아닌 원소 r ∈ R∖{0}에 대하여 r² ≠ 0이다.
- (유한 개 또는 무한 개의) 영역(integral domain)들의 직접곱의 부분환이다.
축소 스킴과의 관계
축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서 멱영원은 무한소 함수로 해석되는데, 이는 거듭제곱을 하면 0이 되는 무한소의 값을 갖는 함수를 의미한다.
축소 아핀 스킴(reduced affine scheme)은 축소환의 스펙트럼과 동형인 아핀 스킴이며, 축소 스킴(reduced scheme)은 축소 아핀 스킴으로 덮을 수 있는 스킴이다. 모든 대수다양체는 정의에 따라 축소 스킴을 이룬다.
성질
함의 관계
체 → 정역, 나눗셈환 → 영역 → 축소환, 소환 → 반소환 등의 함의 관계가 성립한다. 가환환의 경우 이러한 함의 관계는 더 단순해진다.
닫힘 성질
축소환들은 부분환·직접곱·국소화에 대하여 닫혀 있다. 즉, 축소환의 부분환이나 국소화, 그리고 축소환들의 직접곱 역시 축소환이다.
영근기(零根基)
가환환에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
- 축소환이다.
- 영근기가 영 아이디얼이다.
가환환 R에 대하여, 영근기에 대한 몫환은 가환 축소환을 이룬다.
예시
- 자명환(零環)은 자명하게 축소환이다.
- 모든 정역은 축소환이다. 즉, 정수환 ℤ이나 모든 체는 축소환이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 ℤ × ℤ는 정역이 아니지만 축소환이다.
- 축소환이 아닌 환의 예로는 체 K에 대하여 K[x]/(xⁿ)(n > 0)이 있다. 이 경우 (x^(n-1))² = 0이므로 x^(n-1)은 멱영원을 이룬다.
- ℤ/nℤ가 축소환일 필요충분조건은 n이 제곱인자를 갖지 않는 것이다.
축소환은 추상대수학의 한 분야인 환론에서 다루어지는 기본 개념으로, 대수기하학과 가환대수학의 연구에서 널리 활용되는 수학적 용어이다.
