축소 호몰로지 (Reduced homology)는 위상수학에서 위상 공간의 호몰로지 군의 변형된 형태로, 특정한 점에서 0이 아닌 값을 갖는 상수 함수에 대한 호몰로지 군을 제거하여 얻어진다. 이는 호몰로지의 기본적인 아이디어를 유지하면서도, 특히 공집합이 아닌 연결 공간에 대해 더욱 직관적인 정보를 제공하도록 설계되었다.
정의를 간략히 설명하면 다음과 같다. 주어진 위상 공간 X에 대해, 그 호몰로지 군열을 $H_n(X)$라고 하자. X에 점 p를 추가하여 만든 공간 $X \sqcup {p}$ (분리합)에 대한 호몰로지 군열 $H_n(X \sqcup {p})$은 $H_n(X) \oplus H_n({p})$와 동형이다. 이때 점 p는 상수 함수에 대응되므로, 축소 호몰로지 군 $\tilde{H}_n(X)$는 $H_n(X \sqcup {p})$에서 $H_n({p})$ 부분을 제거하여 얻어진다.
더 구체적으로, 특이 호몰로지(singular homology)를 사용하여 설명할 수 있다. 위상 공간 X에 대해, augmented chain complex라는 것을 정의한다. 이는 standard chain complex에 $\epsilon: C_0(X) \to \mathbb{Z}$라는 augmentation map을 추가한 것이다. 여기서 $\epsilon(\sigma) = 1$ for all 0-simplices $\sigma$. 이 augmented chain complex의 호몰로지를 축소 호몰로지라고 부른다.
축소 호몰로지는 다음과 같은 성질을 갖는다.
- n > 0 일 때, $\tilde{H}_n(X) \cong H_n(X)$. 즉, 0차 이상의 호몰로지 군은 일반 호몰로지 군과 동일하다.
- $\tilde{H}_0(X) \cong H_0(X) / \mathbb{Z}$. 특히, X가 공집합이 아닌 연결 공간일 경우, $\tilde{H}_0(X) = 0$ 이다. 이는 0차 축소 호몰로지가 X의 연결 성분 수에 대한 정보를 담고 있음을 의미한다.
축소 호몰로지는 특히 suspension과 같은 구성에 대한 호몰로지를 계산할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, X의 suspension ΣX에 대해, $\tilde{H}n(\Sigma X) \cong \tilde{H}{n-1}(X)$가 성립한다.
따라서 축소 호몰로지는 호몰로지의 일반적인 성질을 유지하면서도, 연결 공간에 대한 0차 호몰로지를 0으로 만들어 계산을 단순화하고 직관적인 이해를 돕는 도구로 활용된다.