최대 최소 정리(Extreme Value Theorem)는 해석학 및 미분적분학에서 다루는 정리로, 연속함수의 성질을 규정하는 중요한 원리 중 하나이다. 이 정리는 함수가 특정 조건 아래에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다는 것을 보장한다.
정리의 내용은 다음과 같다. 함수 $f(x)$가 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이면, $f(x)$는 이 구간 안에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다. 즉, 구간 $[a, b]$에 속하는 임의의 $x$에 대하여 $f(c) \le f(x) \le f(d)$를 만족하는 $c$와 $d$가 해당 구간 내에 적어도 하나씩 존재한다는 것이다.
이 정리가 성립하기 위한 필수 조건은 함수가 '연속'이어야 하며, 구간이 '닫힌 구간(유계인 폐구간)'이어야 한다는 점이다. 만약 구간이 열린 구간이거나 함수가 불연속인 경우에는 최댓값이나 최솟값이 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 열린 구간 $(0, 1)$에서 정의된 함수 $f(x) = x$는 구간 내에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다.
최대 최소 정리는 롤의 정리(Rolle's Theorem)나 평균값 정리(Mean Value Theorem)를 증명하는 기초가 되며, 최적화 문제에서 해의 존재성을 확인하는 데 필수적인 근거를 제공한다. 이 정리는 볼차노-와이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass theorem)를 이용하여 증명할 수 있다.
