초기하함수(Hypergeometric function)는 수학에서 초기하급수(Hypergeometric series)를 통해 정의되는 함수로, 일반적으로 가우스의 초기하함수(${2}F{1}(a, b; c; z)$)를 의미한다. 이는 많은 초등 함수와 특수 함수를 포괄하는 광범위한 개념으로 정의된다.
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정의 및 배경 초기하함수는 일반적으로 다음과 같은 멱급수 형태로 정의된다. $$F(a, b; c; z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}$$ 여기서 $(q)_n$은 포흐하머 기호(Pochhammer symbol) 또는 상승 계승을 나타내며, $c$는 0 또는 음의 정수가 아니어야 한다. 이 급수는 $|z| < 1$인 영역에서 수렴하며, 복소평면의 다른 영역으로는 해석적 확장을 통해 정의될 수 있다.
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초기하 미분방정식 초기하함수는 다음과 같은 2계 선형 상미분방정식의 해가 된다. $$z(1-z)w'' + [c - (a + b + 1)z]w' - abw = 0$$ 이 방정식은 세 개의 확정 특이점(0, 1, $\infty$)을 가지는 가장 일반적인 형태의 2계 미분방정식으로 알려져 있다.
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성질 및 활용 초기하함수는 변수의 값에 따라 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등 많은 초등 함수를 특수한 경우로 포함한다. 또한 베셀 함수, 르장드르 함수, 체비쇼프 다항식 등 물리학과 공학에서 자주 사용되는 다양한 특수 함수들도 초기하함수의 일종으로 표현될 수 있다.
역사적으로 레온하르트 오일러에 의해 연구가 시작되었으며, 이후 카를 프리드리히 가우스가 본격적으로 체계화하였다. 통계학, 양자역학, 수론 등 수학과 물리학의 광범위한 분야에서 응용된다.
