체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomials)은 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프(Pafnuty Chebyshev)가 1854년에 도입한 직교 다항식열이다. 삼각 함수의 코사인 및 사인 함수와 밀접한 관계를 가지며, 수치 해석, 근사 이론, 신호 처리 등 여러 분야에서 널리 활용된다.
체비쇼프 다항식은 크게 제1종(第一種)과 제2종(第二種)으로 구분된다. 제1종 체비쇼프 다항식은 기호 T_n(x)로 표기하며, T_n(cos θ) = cos(nθ)의 관계를 만족한다. 제2종 체비쇼프 다항식은 기호 U_n(x)로 표기하며, U_n(cos θ) = sin((n+1)θ) / sin θ의 관계를 만족한다. 기호 T는 체비쇼프 이름의 프랑스어 표기(Tchebycheff) 또는 독일어 표기(Tschebyschow)에서 유래하였다.
정의
제1종 체비쇼프 다항식은 다음과 같은 점화 관계로 정의할 수 있다.
T_0(x) = 1 T_1(x) = x T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) (n ≥ 1)
제2종 체비쇼프 다항식의 점화 관계는 다음과 같다.
U_0(x) = 1 U_1(x) = 2x U_{n+1}(x) = 2x U_n(x) - U_{n-1}(x) (n ≥ 1)
성질
체비쇼프 다항식은 구간 [-1, 1]에서 특정 가중 함수에 대해 직교성을 가진다. 제1종 다항식 T_n(x)는 가중 함수 1/√(1-x²)에 대해, 제2종 다항식 U_n(x)는 가중 함수 √(1-x²)에 대해 직교한다.
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다. 즉, T_n(-x) = (-1)^n T_n(x)가 성립한다.
n차 체비쇼프 다항식 T_n(x)는 구간 [-1, 1]에서 n개의 서로 다른 실근을 가지며, 이 근들은 x_k = cos((2k-1)π/(2n)) (k = 1, 2, ..., n)으로 주어진다. 이 근들은 체비쇼프 노드(Chebyshev nodes)라고 불리며, 다항식 보간에서 룽게 현상(Runge's phenomenon)을 최소화하는 데 사용된다.
최소 최대 노름 성질
체비쇼프 다항식의 중요한 성질 중 하나는 최소 최대 노름(minimax norm) 성질이다. 최고차항의 계수가 1인 n차 다항식들 중에서, 2^{1-n} T_n(x)는 구간 [-1, 1]에서 최댓값의 절댓값이 가장 작은 다항식이다. 이 최댓값은 1/2^{n-1}이며, x = cos(kπ/n) (k = 0, 1, ..., n)에서 n+1회 도달한다.
예시
낮은 차수의 제1종 체비쇼프 다항식은 다음과 같다.
T_0(x) = 1 T_1(x) = x T_2(x) = 2x² - 1 T_3(x) = 4x³ - 3x T_4(x) = 8x⁴ - 8x² + 1 T_5(x) = 16x⁵ - 20x³ + 5x
응용
체비쇼프 다항식은 수치 해석에서 함수 근사, 수치 적분(가우스-체비쇼프 구적법), 미분 방정식의 수치 해법(스펙트럼 방법) 등에 사용된다. 또한 신호 처리 분야에서는 체비쇼프 필터 설계와 도프-체비쇼프 윈도우(Dolph-Chebyshev window) 구성에 활용된다. 근사 이론에서는 최소 최대 오차 근사(minimax approximation) 문제의 해결에 핵심적인 도구로 사용된다.
