첨가 행렬(添加行列, Augmented Matrix)은 선형대수학에서 연립일차방정식의 계수 행렬과 상수항 열벡터를 가로로 결합하여 만든 행렬을 말한다. 일반적으로 수직선으로 계수 부분과 상수항 부분을 구분하여 표기한다.
정의 $m$개의 방정식과 $n$개의 미지수로 이루어진 연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 주어졌을 때, 계수 행렬 $A$($m \times n$)과 상수항 벡터 $\mathbf{b}$($m \times 1$)을 열 방향으로 이어 붙인 $m \times (n+1)$ 크기의 행렬 $[A \mid \mathbf{b}]$를 첨가 행렬이라 한다.
표기법 보통 수직선(|) 또는 점선(:)을 사용하여 계수 행렬과 상수항 열을 시각적으로 분리한다. 예를 들어, 다음 연립방정식 $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases} $$ 의 첨가 행렬은 다음과 같이 쓴다. $$ \left[\begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} & b_1 \ a_{21} & a_{22} & b_2 \end{array}\right] $$
역할 및 용도 첨가 행렬은 연립일차방정식의 풀이 과정을 행렬 연산으로 단순화하기 위해 사용된다.
- 가우스 소거법(Gaussian Elimination) 및 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan Elimination): 첨가 행렬에 행 기본 연산(행 교환, 행에 0이 아닌 상수 곱하기, 다른 행의 배수 더하기)을 적용하여 행 사다리꼴 행렬 또는 기약 행 사다리꼴 행렬로 변환함으로써 해를 구한다.
- 해의 존재성 및 유일성 판단: 계수 행렬 $A$와 첨가 행렬 $[A \mid \mathbf{b}]$의 계수(Rank)를 비교하여 연립방정식의 해가 존재하는지(일관성), 유일하게 존재하는지, 무한히 많은지 판단한다. (루베-카펠리 정리)
- $\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])$: 해가 존재함 (일관 연립방정식)
- $\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])$: 해가 없음 (부정합 연립방정식)
- 해가 존재할 때 $\text{rank}(A) = n$(미지수 개수): 유일 해
- 해가 존재할 때 $\text{rank}(A) < n$: 무한히 많은 해 (자유 변수 존재)
관련 개념
- 계수 행렬 (Coefficient Matrix)
- 행 기본 연산 (Elementary Row Operation)
- 행 사다리꼴 행렬 (Row Echelon Form)
- 계수 (Rank)
- 역행렬 (Inverse Matrix) - 정방행렬 $A$에 대해 $[A \mid I]$를 기약 행 사다리꼴로 만들면 $[I \mid A^{-1}]$이 되어 역행렬을 구할 수 있다.
