질량-광도 관계(mass–luminosity relation)는 천체물리학에서 항성의 질량과 광도 사이의 경험적·이론적 상관관계를 나타내는 방정식이다. 이 관계는 주계열성(main-sequence star)에 대하여 성립하며, 일반적으로 다음과 같은 멱함수(power law) 형태로 표현된다.
$$ \frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^a $$
여기서 $L$과 $M$은 각각 항성의 광도와 질량, $L_{\odot}$과 $M_{\odot}$은 태양의 광도와 질량이며, 지수 $a$는 1에서 6 사이의 값을 가진다. 주계열성의 경우 $a = 3.5$가 일반적으로 사용된다. 항성이 에딩턴 광도(Eddington luminosity)에 가까워지면 $a = 1$이 된다.
이 관계는 질량 범위에 따라 다음과 같이 세분화된다.
- $M < 0.43 M_{\odot}$: $L/L_{\odot} \approx 0.23,(M/M_{\odot})^{2.3}$
- $0.43 M_{\odot} < M < 2 M_{\odot}$: $L/L_{\odot} = (M/M_{\odot})^{4}$
- $2 M_{\odot} < M < 20 M_{\odot}$: $L/L_{\odot} \approx 1.5,(M/M_{\odot})^{3.5}$
- $M > 20 M_{\odot}$: $L/L_{\odot} \approx 3200,(M/M_{\odot})$
질량이 0.43 태양질량 미만인 별에서는 대류(convection)가 유일한 에너지 수송 과정이므로 관계가 크게 변화한다. 질량이 55 태양질량을 초과하는 별에서는 복사압(radiation pressure) 증가로 인해 관계가 평탄해져 $L \propto M$에 가까워지나, 이러한 별들은 강한 항성풍으로 인해 빠르게 질량을 잃어 오래 지속되지 않는다.
역사
질량-광도 관계는 1911년 야콥 칼 에른스트 할름(Jakob Karl Ernst Halm)이 처음으로 통계적 관계로서 언급한 것으로 알려져 있다. 이후 1918년 아이나르 헤르츠스프룽(Ejnar Hertzsprung), 1924년 아서 에딩턴(Arthur Eddington)이 이론적 모형을 통해 관측 자료와 일치하는 관계를 유도하였다.
의의와 활용
질량-광도 관계는 관측이 상대적으로 용이한 광도로부터 직접 측정이 어려운 질량을 추정할 수 있게 해준다는 점에서 중요하다. 이 관계는 쌍성계의 거리를 측정하는 "역학적 시차"(dynamical parallax) 기법에 활용되며, 항성의 주계열 수명을 추정하는 데에도 사용된다. 항성의 수명은 대략 질량 대 광도의 비(M/L)에 비례하므로, 질량이 큰 별일수록 주계열 단계에 머무르는 시간이 짧아진다.
이론적 유도
이론적으로 정확한 질량-광도 관계를 도출하려면 항성 내부의 에너지 생성 방정식과 열역학적 모형이 필요하다. 기본적인 관계 $L \propto M^3$은 이상 기체 모형, 비리얼 정리(virial theorem), 복사 전달 이론 등 기본적인 물리학과 단순화된 가정을 통해 유도할 수 있다. 최초의 이론적 유도는 1924년 에딩턴에 의해 이루어졌으며, 당시 항성을 이상 기체로 모형화할 수 있다는 새로운 관점을 제시하였다.
한계
이 관계는 주계열성에 대해서만 성립하며, 적색 거성(red giant)이나 백색 왜성(white dwarf)에는 적용되지 않는다. 또한 질량이 매우 작은 별(0.43 태양질량 미만)은 완전 대류성이므로 법칙을 따르지 않으며, 항성의 화학 조성, 나이, 자기 활동 등에 따라 산포(scatter)가 발생할 수 있다. 최근 연구에서는 금속 함량([Fe/H])과 항성의 나이를 변수에 포함시켜 더 정밀한 관계식을 도출하려는 시도가 이루어지고 있다.
