진비엘 대수(Zinbiel algebra)는 수학, 특히 비결합 대수 및 연산자(operad) 이론에서 다루는 대수 구조의 한 종류이다. 이중 라이프니츠 대수(dual Leibniz algebra)라고도 불린다.
진비엘 대수는 가환환 위의 가군(module)으로, 다음과 같은 항등식을 만족하는 이항 선형 곱 ∘를 갖춘 대수 구조이다.
(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) + a ∘ (c ∘ b)
이 항등식은 라이프니츠 대수(Leibniz algebra)의 정의 항등식과 쌍대(dual) 관계에 있으며, 진비엘 대수는 라이프니츠 대수에 대한 코즐 쌍대(Koszul dual) 개념에 해당한다.
진비엘 대수는 1995년 프랑스 수학자 장루이 로데이(Jean-Louis Loday)에 의해 처음 소개되었다. "진비엘(Zinbiel)"이라는 이름은 장미셸 르메르(Jean-Michel Lemaire)가 라이프니츠(Leibniz)의 철자 순서를 뒤집어 제안한 것이다.
모든 진비엘 대수에서 대칭곱 a ⋆ b = a ∘ b + b ∘ a는 결합 법칙을 만족한다. 즉, 대칭곱에 대하여 결합 대수(associative algebra)를 이룬다.
벡터 공간 V에 대한 자유 진비엘 대수는 텐서 대수(tensor algebra) 위에 다음과 같은 곱으로 정의된다.
(x₀ ⊗ … ⊗ xₚ) ∘ (xₚ₊₁ ⊗ … ⊗ xₚ₊ᵩ) = x₀ · Σ (x₁, …, xₚ₊ᵩ의 모든 (p,q)-셔플)
여기서 합은 모든 (p, q)-셔플 순열에 걸쳐 이루어진다.
진비엘 대수는 연산자 이론(operad theory)에서 라이프니츠 연산자(Leibniz operad)의 코즐 쌍대(Koszul dual) 연산자에 해당하는 대수 구조로, 비결합 대수(non-associative algebra)의 한 갈래로서 연구되고 있다. 주요 연구 주제로는 진비엘 대수의 멱영성(nilpotency), 분류, 표현론 등이 있다.
