진부분집합(眞部分集合, 영어: proper subset)은 집합론에서 사용되는 수학적 개념으로, 어떤 집합의 부분집합이면서 그 집합 자신과는 같지 않은 집합을 가리킨다. 즉, 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합($A \subseteq B$)이면서 동시에 $A eq B$일 때, $A$를 $B$의 진부분집합이라고 한다.
정의
두 집합 $A$와 $B$에 대하여, $A$의 모든 원소가 $B$에 속하고($A \subseteq B$), $A$에 속하지 않는 $B$의 원소가 적어도 하나 존재할 때, 즉 $A eq B$일 때 $A$는 $B$의 진부분집합이다. 기호로는 $A \subsetneq B$ 또는 $A \subset B$로 나타낸다. 다만 일부 문헌에서는 부분집합을 $A \subseteq B$로, 진부분집합을 $A \subset B$로 구분하여 표기하기도 하므로, 사용된 표기법의 정의를 확인할 필요가 있다.
예시
- 집합 $A = {1, 2}$이고 집합 $B = {1, 2, 3}$일 때, $A$의 모든 원소가 $B$에 속하고 $A eq B$이므로 $A$는 $B$의 진부분집합이다.
- 공집합 $\varnothing$은 공집합이 아닌 모든 집합의 진부분집합이다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며, 공집합이 아닌 집합과는 같지 않기 때문이다.
- 집합 $A = {1, 2, 3}$은 자기 자신 $B = {1, 2, 3}$의 부분집합이지만 $A = B$이므로 진부분집합이 아니다. 이러한 경우를 가부분집합(improper subset)이라고 부르기도 한다.
성질
- 공집합 $\varnothing$은 모든 집합의 부분집합이며, 공집합이 아닌 모든 집합에 대하여 진부분집합이다.
- 어떤 집합의 진부분집합의 개수는 그 집합의 부분집합의 개수에서 자기 자신을 제외한 값과 같다. 원소의 개수가 $n$인 집합의 부분집합의 개수는 $2^n$이므로, 진부분집합의 개수는 $2^n - 1$이다.
- 진부분집합 관계는 반사적이지 않으며(어떤 집합도 자기 자신의 진부분집합이 될 수 없다), 추이적이다($A$가 $B$의 진부분집합이고 $B$가 $C$의 진부분집합이면 $A$는 $C$의 진부분집합이다).
관련 개념
진부분집합의 반대 개념으로 진상위집합(proper superset)이 있다. $A$가 $B$의 진부분집합일 때, $B$는 $A$의 진상위집합(또는 진초집합)이라고 한다. 집합론에서 부분집합과 진부분집합의 구분은 집합의 포함 관계를 엄밀하게 다루기 위해 필수적이며, 이산수학, 논리학, 전산학 등 여러 분야에서 기초 개념으로 사용된다.
