직사각형, 삼각형

직사각형(直四角形, rectangle)은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형을 말한다. 사각형의 내각의 합은 360°이므로, 네 내각의 크기가 모두 같다는 조건은 곧 각 내각이 모두 90°(직각)임을 의미한다. 이는 평면 기하학에서 가장 기본적인 도형 중 하나이다.

정의와 조건 직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형으로 정의된다. 이 정의로부터 다음과 같은 조건이 도출된다. 한 내각이 직각인 평행사변형은 직사각형이며, 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형 역시 직사각형이다. 또한 직사각형은 등변사다리꼴의 조건도 만족한다.

성질 직사각형의 주요 성질은 다음과 같다.

• 네 각의 크기가 모두 직각(90°)이다.
• 마주보는 두 변(대변)의 길이가 같다.
• 마주보는 두 변이 각각 평행하다.
• 두 대각선의 길이가 같다.
• 두 대각선은 서로를 이등분한다.
• 각 대각선은 직사각형을 합동인 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
• 항상 외접원을 가지며, 대각선의 교점이 외접원의 중심이다.
• 정사각형이 아닌 직사각형은 내접원을 가질 수 없다.

공식 가로의 길이를 l, 세로의 길이를 w라고 할 때:

• 넓이: A = l × w
• 둘레: P = 2(l + w)
• 대각선의 길이: D = √(l² + w²) (피타고라스 정리에 의함)

특수한 직사각형 네 변의 길이가 모두 같은 직사각형을 정사각형(square)이라고 한다. 정사각형은 직사각형이면서 동시에 마름모인 도형이다. 가로와 세로의 비율이 황금비(약 1.618)인 직사각형을 황금비 직사각형(golden rectangle)이라고 한다.

다른 사각형과의 관계 직사각형은 평행사변형의 특수한 경우이며, 등변사다리꼴이기도 하다. 사다리꼴의 조건(적어도 한 쌍의 대변이 평행)을 만족하므로 사다리꼴로도 분류될 수 있다. 직사각형이면서 마름모인 경우는 정사각형뿐이다.

어원 '직사각형'은 한자어 '直四角形'으로, '直'은 '직각'을 의미하며 '네 각이 모두 직각인 사각형'이라는 뜻을 담고 있다. 영어 'rectangle'은 라틴어 'rectus'(똑바르다, 수직이다)와 'angulus'(각)에서 유래하였다. 북한에서는 '직4각형'이라고 표기한다.

응용 직사각형은 건축, 디자인, 공학 등 다양한 분야에서 가장 기본적인 형태로 사용된다. 건물의 평면, 창문, 문, 가구, 디스플레이 화면, 종이 규격(A4 등) 등 일상생활에서 가장 흔히 접하는 기하학적 도형 중 하나이다.

삼각형

삼각형(三角形, triangle)은 세 개의 꼭짓점(점)과 세 개의 변(선분)으로 이루어진 다각형이다. 세 개의 꼭짓점을 각각 A, B, C라고 할 때, 삼각형은 세 선분 AB, BC, CA의 합집합으로 정의된다. 삼각형은 평면도형 중 가장 기본적인 다각형이며, 모든 다각형은 삼각형으로 분할될 수 있다.

정의 삼각형은 한 평면 위에서 세 개의 서로 다른 점이 한 직선 위에 있지 않을 때, 이 세 점을 잇는 세 선분으로 둘러싸인 도형이다. 유클리드 기하학에서 삼각형의 세 내각의 합은 항상 180°(π 라디안)이다.

종류 변의 길이에 따른 분류:

• 정삼각형(equilateral triangle): 세 변의 길이가 모두 같고, 세 각의 크기도 모두 60°로 같다.
• 이등변삼각형(isosceles triangle): 두 변의 길이가 같다. 길이가 같은 두 변에 마주보는 두 각의 크기도 같다.
• 부등변삼각형(scalene triangle): 세 변의 길이가 모두 다르다.

각의 크기에 따른 분류:

• 예각삼각형(acute triangle): 세 각이 모두 90°보다 작은 삼각형이다.
• 직각삼각형(right triangle): 한 각이 정확히 90°인 삼각형이다. 피타고라스 정리가 성립한다.
• 둔각삼각형(obtuse triangle): 한 각이 90°보다 큰 삼각형이다.

넓이 공식 밑변의 길이가 a이고 높이가 h인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

• 기본 공식: S = (a × h) / 2
• 헤론의 공식(세 변 a, b, c를 알 때): S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), 단 s = (a+b+c)/2
• 두 변과 끼인각을 알 때: S = (1/2) × ab × sin C
• 정삼각형(한 변의 길이 a): S = (√3/4) × a²

성질(유클리드 기하학)

• 세 내각의 합은 180°이다.
• 삼각형의 한 외각은 그와 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같다.
• 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 항상 크다(삼각부등식).
• 중점연결정리: 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
• 피타고라스 정리, 사인 법칙, 코사인 법칙, 체바 정리, 메넬라오스 정리 등이 성립한다.

비유클리드 기하학 비유클리드 기하학(구면기하학, 쌍곡기하학)에서는 삼각형의 내각의 합이 180°가 되지 않는다. 구면기하학에서는 내각의 합이 180°를 초과하고, 쌍곡기하학에서는 180°보다 작다.

합동 조건 삼각형의 합동 조건은 다음과 같다.

• SSS 합동: 세 변의 길이가 각각 같다.
• SAS 합동: 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같다.
• ASA 합동: 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같다.
• AAS 합동: 두 각의 크기와 그 중 한 각에 이웃하지 않는 변의 길이가 같다.
• RHS 합동: 직각삼각형에서 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같다.
• RHA 합동: 직각삼각형에서 빗변의 길이와 다른 한 각의 크기가 같다.

어원 '삼각형'은 한자어 '三角形'으로, '세 개의 모서리(각)를 가진 도형'이라는 뜻이다. 영어 'triangle'은 라틴어 'triangulum'에서 유래하였으며, 'tri'(셋)와 'angulum'(각)의 합성어이다. 순우리말로는 '세모꼴'이라고도 한다.

응용 삼각형은 구조적으로 가장 안정적인 형태로 평가되어 건축, 토목, 공학 분야에서 트러스 구조, 교량, 철탑 등의 기본 단위로 널리 사용된다. 또한 삼각측량, 항법, 컴퓨터 그래픽스, 삼각함수 등 수학과 과학 전반에 걸쳐 핵심적인 역할을 한다.