직교 리 대수(直交 李 大數, Orthogonal Lie Algebra)는 리 군(Lie group)인 직교 군(Orthogonal Group, $O(n)$) 또는 특수 직교 군(Special Orthogonal Group, $SO(n)$)의 리 대수(Lie algebra)를 지칭한다. 일반적으로 $\mathfrak{o}(n)$ 또는 $\mathfrak{so}(n)$으로 표기하며, 수학에서는 주로 $\mathfrak{so}(n)$을 직교 리 대수의 표준적인 표기로 사용한다.
정의 $n \times n$ 실수 행렬 공간 $M_n(\mathbb{R})$에서 전치 행렬에 대해 반대칭(Skew-symmetric)인 행렬들의 집합으로 정의된다. $$ \mathfrak{so}(n) = { X \in M_n(\mathbb{R}) \mid X^T + X = 0 } $$ 여기서 $X^T$는 $X$의 전치 행렬이다. 리 괄호(Lie bracket)는 행렬의 교환자(Commutator) $[X, Y] = XY - YX$로 주어진다.
구조 및 성질
- 차원: $\mathfrak{so}(n)$의 실수 벡터 공간으로서의 차원은 $\frac{n(n-1)}{2}$이다. 이는 대각 성분이 0이고, 대칭 위치의 성분이 부호만 반대인 반대칭 행렬의 자유도와 일치한다.
- 단순성(Simplicity):
- $\mathfrak{so}(3)$은 단순 리 대수(Simple Lie algebra)이며, $\mathfrak{su}(2)$와 동형이다.
- $\mathfrak{so}(4)$는 반단순(Semisimple)이지만 단순하지 않으며, $\mathfrak{so}(3) \oplus \mathfrak{so}(3)$과 동형이다.
- $n > 4$인 경우 $\mathfrak{so}(n)$은 단순 리 대수이다. (단, 복소화 시 $\mathfrak{so}(2n, \mathbb{C})$는 $D_n$ 타입, $\mathfrak{so}(2n+1, \mathbb{C})$는 $B_n$ 타입에 해당한다.)
- 콤팩트성: $\mathfrak{so}(n)$은 콤팩트 리 군 $SO(n)$의 리 대수이므로 콤팩트 리 대수(Compact Lie algebra)이다. 킬링 형식(Killing form)은 음의 정부호(Negative definite)를 가진다.
- 표현론: 기본 표현(Fundamental representation)은 $\mathbb{R}^n$ 위의 표준적인 작용이다. 스핀 표현(Spin representation)은 $\mathfrak{so}(n)$의 보편 덮개 군인 스핀 군(Spin group)과 관련이 깊다.
물리학적 응용 양자역학과 입자물리학에서 각운동량 연산자, 로렌츠 군의 공간적 회전 부분, 게이지 이론의 대칭 구조 등을 기술하는 데 핵심적인 역할을 한다. 특히 $\mathfrak{so}(3)$은 3차원 공간의 회전 대칭을, $\mathfrak{so}(3,1)$(푸앵카레 대수의 부분 대수)은 특수 상대론적 시공간 대칭을 다룰 때 등장한다.
관련 개념
- 직교 군 (Orthogonal Group, $O(n)$)
- 특수 직교 군 (Special Orthogonal Group, $SO(n)$)
- 스핀 군 (Spin Group)
- 심플렉틱 리 대수 (Symplectic Lie Algebra, $\mathfrak{sp}(n)$)
- 유니터리 리 대수 (Unitary Lie Algebra, $\mathfrak{u}(n)$)
- 카르탕 분류 (Cartan Classification)
