조합론(combinatorics)에서 직교 라틴 방진(直交Latin方陣, 영어: orthogonal Latin square)은 같은 크기의 두 라틴 방진(Latin square)을 겹쳤을 때, 각 칸에서 나타나는 순서쌍이 모두 서로 다른 정사각 행렬을 말한다. 즉, 크기가 같은 두 라틴 방진 $M$과 $N$이 주어졌을 때, 모든 위치 $(i,j)$에 대하여 $(M_{ij}, N_{ij})$가 유일한 순서쌍을 이루면 $M$과 $N$이 서로 직교(orthogonal)한다고 하며, $M \perp N$으로 표기한다. 이러한 두 라틴 방진의 순서쌍을 직교 라틴 방진 쌍 또는 그레코라틴 방진(Greco-Latin square)이라고도 부른다. 셋 이상의 라틴 방진이 모두 쌍마다 직교할 경우 이를 상호 직교 라틴 방진 집합(set of mutually orthogonal Latin squares, 약자 MOLS)이라고 한다.
역사
직교 라틴 방진의 역사는 17세기 말로 거슬러 올라간다. 프랑스 수학자 자크 오자낭(Jacques Ozanam, 1640~1718)은 1694년 출판한 수학 퍼즐집에 관련 문제를 수록하였으며, 이후 장에티엔 몽튀클라(Jean-Étienne Montucla)가 1778년에 편집한 개정판에는 4×4 직교 라틴 방진에 해당하는 카드 퍼즐이 실려 있다.
조선의 수학자 최석정(崔錫鼎, 1646~1715)은 1710년~1715년경 저술한 수학서 《구수략》(九數略)에서 서로 직교하는 9×9 라틴 방진 쌍(구구모수변궁양도, 九九母數變宮陽圖)과, 서로 직교하지는 않는 두 개의 10×10 라틴 방진(백자자수음양착종도·백자모수음양착종도)을 수록하였다. 이는 오일러의 연구보다 최소 60년 이상 앞선 세계 최초의 직교 라틴 방진 기록으로 평가된다.
스위스의 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 1779년에 집필되어 1782년에 출판된 논문에서 "36인의 장교 문제"(6×6 직교 라틴 방진의 존재 여부)를 제기하고, $n ot\equiv 2 \pmod{4}$일 때 직교 라틴 방진 쌍이 존재함을 증명하였다. 또한 $n \equiv 2 \pmod{4}$인 모든 $n$에 대해서는 직교 라틴 방진 쌍이 존재하지 않을 것이라고 추측하였다(오일러의 추측). "라틴 방진"이라는 용어는 오일러가 이 논문에서 원소를 라틴 문자로 표기한 데서 유래하였으며, "그레코라틴 방진"이라는 용어는 두 방진의 원소를 각각 라틴 문자와 그리스 문자로 표기한 데서 비롯되었다.
1901년 프랑스의 수학자 가스통 타리(Gaston Tarry)는 6×6 직교 라틴 방진이 존재할 수 없음을 엄밀히 증명하여 오일러의 추측의 일부를 확인하였다. 그러나 1959년 라지 찬드라 보스(Raj Chandra Bose)와 샤라드찬드라 샨카르 슈리칸데(Sharadchandra Shankar Shrikhande)는 22×22 직교 라틴 방진의 존재를 증명하였고, 1960년 보스, 슈리칸데, 어니스트 틸던 파커(Ernest Tilden Parker)는 10 이상의 모든 $n \equiv 2 \pmod{4}$에 대하여 오일러의 추측이 거짓임을 증명하였다. 단, $n=2$와 $n=6$의 경우에만 직교 라틴 방진 쌍이 존재하지 않음이 현재까지 알려져 있다.
응용
직교 라틴 방진은 실험 설계(experimental design), 오류 정정 부호(error-correcting codes), 암호학, 스케줄링 문제 등 다양한 분야에 응용된다. 특히 상호 직교 라틴 방진 집합(MOLS)은 블록 설계(block design) 및 유한 기하학(finite geometry)과 깊은 관련이 있다.
