중심(中心, center)은 대수학에서 이항 연산이 정의된 대수적 구조(군, 환, 리 대수 등)에서 다른 모든 원소와 교환 가능한 원소들의 집합을 가리키는 용어이다. 해당 대수적 구조의 '아벨(가환) 정도'를 측정하는 중요한 불변량으로 기능한다.
1. 군의 중심 군 $G$에서 중심 $Z(G)$는 다음과 같이 정의된다. $$Z(G) = { z \in G \mid \forall g \in G, zg = gz }$$ 즉, $G$의 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합이다. $Z(G)$는 $G$의 정규 부분군이며, $G$가 아벨 군일 필요충분조건은 $Z(G) = G$이다. 중심은 군의 내부 자기동형사상 군 $\text{Inn}(G)$과 동형인 몫군 $G/Z(G)$를 통해 군의 구조를 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다.
2. 환의 중심 환 $R$에서 중심 $Z(R)$은 곱셈에 대해 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합이다. $$Z(R) = { z \in R \mid \forall r \in R, zr = rz }$$ $Z(R)$은 $R$의 가환 부분환을 이룬다. 특히 $R$이 가환환일 때 $Z(R)=R$이다. 환론에서 중심은 대수(algebra)의 정의(중심을 기저 체로 포함하는 환)나 아틴-웨더번 정리(Artin-Wedderburn theorem) 등에서 중요한 역할을 한다.
3. 리 대수의 중심 리 대수 $\mathfrak{g}$에서 중심 $Z(\mathfrak{g})$는 모든 원소와 리 괄호가 0이 되는 원소들의 집합이다. $$Z(\mathfrak{g}) = { z \in \mathfrak{g} \mid \forall x \in \mathfrak{g}, [z, x] = 0 }$$ 이는 $\mathfrak{g}$의 아벨 아이디얼을 이루며, 리 대수의 표현론 및 분류 문제에서 기본적인 개념으로 사용된다.
4. 일반적 의미와 확대 적용 범주론적 관점에서는 모노이드 대상을 비롯한 다양한 대수적 구조에서 '자신과의 호몰리즘 중 항등사상과 같은 것'으로 중심을 추상적으로 정의할 수 있다. 또한, 특정 부분집합 $S$에 대해 $S$의 모든 원소와 교환하는 원소들의 집합을 중심화자(centralizer)라고 하여 중심 개념을 일반화한다.
