중심 극한 정리(中心極限定理, Central Limit Theorem, 약자 CLT)는 확률론과 통계학에서 가장 핵심적인 정리 중 하나이다. 동일한 확률분포를 가진 독립 확률 변수 n개의 평균의 분포는 n이 충분히 클 경우 모집단의 분포 형태와 관계없이 정규분포에 가까워진다는 내용을 담고 있다.
역사
중심 극한 정리의 초기 형태는 18세기 초 아브라암 드 무아브르(Abraham de Moivre)가 동전 던지기 실험에서 이항 분포가 시행 횟수 증가에 따라 종 모양 곡선에 가까워짐을 발견하면서 시작되었다. 이후 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 1774년에서 1786년 사이의 논문에서 이 정리를 일반화하고 증명을 시도하였다. 19세기와 20세기에 걸쳐 파프누티 체비쇼프, 안드레이 마르코프, 알렉산드르 랴푸노프, 야를 발데마르 린데베르크 등이 더 약한 가정 하에서도 동일한 결과가 성립함을 증명하며 정리를 발전시켰다. 오늘날 널리 사용되는 일반적 형태는 1922년 린데베르크가 제시한 조건을 통해 완성되었다.
정리
중심 극한 정리는 조건에 따라 여러 가지 형태로 나뉜다.
린데베르크-레비 중심 극한 정리 (Lindeberg–Lévy CLT)
가장 많이 쓰이는 형태로, 같은 분포를 가진 독립 확률 변수에 대해 다룬다. 확률 변수 X₁, X₂, ... 이 다음 조건을 만족할 때 성립한다.
- 서로 독립적이고,
- 같은 확률 분포를 가지며,
- 그 확률 분포의 기댓값 μ와 표준편차 σ가 유한하다.
이때 표본 평균 Sₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n의 분포는 기댓값 μ, 표준편차 σ/√n인 정규분포 N(μ, σ²/n)로 분포수렴한다. 즉, √n((1/n)∑Xᵢ - μ) → N(0, σ²)이 성립한다.
랴푸노프 중심 극한 정리 (Lyapunov CLT)
알렉산드르 랴푸노프가 증명한 형태로, 확률 변수들이 동일한 분포를 가질 필요가 없다는 조건을 완화한 것이다. 각 확률 변수가 서로 독립이고 각각 유한한 평균과 분산을 가지며, 랴푸노프 조건(Lyapunov condition)을 만족할 때, ∑(Xᵢ - μᵢ)/sᵢ의 분포는 n이 커질수록 표준정규분포로 분포수렴한다.
린데베르크 중심 극한 정리 (Lindeberg CLT)
랴푸노프 중심 극한 정리의 조건을 더 완화한 형태로, 린데베르크 조건(Lindeberg condition)을 만족하면 동일한 결론이 성립한다.
마팅게일 중심 극한 정리 (Martingale CLT)
확률 변수들이 독립이 아닌 마팅게일(martingale)을 이루는 경우에도 특정 조건 하에서 표준정규분포로 분포수렴함을 보인다.
의의와 활용
중심 극한 정리는 모집단의 분포를 알 수 없거나 비정규 분포일 경우에도 표본 평균의 분포를 정규분포로 근사할 수 있게 해주므로, 통계적 추론(가설 검정, 신뢰 구간 추정)의 핵심 이론적 근거가 된다. 실용적으로는 품질 관리, 식스 시그마, A/B 테스트, 실험 설계, 데이터 과학 등 다양한 분야에서 폭넓게 활용된다. 실무에서는 표본 크기 n이 일반적으로 30 이상이면 정규분포 근사가 충분히 유효한 것으로 간주된다.
