중력 에너지(영어: gravitational energy) 또는 중력 위치 에너지(영어: gravitational potential energy)는 질량을 가진 물체가 중력장 내에서 그 위치(중력 퍼텐셜)로 인해 가지는 위치 에너지이다. 수학적으로, 이는 질량을 중력장을 생성하는 질량으로부터 선택된 기준점(보통 무한대)에서 장 내의 다른 지점까지 가져오기 위해 중력에 대항하여 수행되어야 하는 최소 기계적 일(work)로 정의되며, 물체가 서로를 향해 자유 낙하할 때 운동 에너지로 변환된다.
1. 정의
두 점 입자가 쌍으로 상호 작용하는 경우, 중력 위치 에너지 $U$는 외부 행위자가 질량을 준정적으로 모으기 위해 해야 하는 일로 정의된다(이는 중력장이 질량에 하는 일과 정확히 반대이다).
$$ U = -W_g = -\int \vec{F}_g \cdot d\vec{r} $$
여기서 $d\vec{r}$은 질량의 변위 벡터, $\vec{F}_g$는 질량에 작용하는 중력, $\cdot$은 스칼라곱을 나타낸다.
2. 고전역학 (뉴턴 중력)
2.1 점 질량 사이의 중력 에너지
고전역학에서 두 개 이상의 질량은 항상 중력 퍼텐셜을 갖는다. 에너지 보존 법칙에 따르면 이 중력장 에너지는 항상 음수여야 하며, 물체가 무한히 멀리 떨어져 있을 때 0이 된다.
점 질량 $m$이 다른 점 질량 $M$의 존재로 인해 거리 $r$에서 경험하는 중력은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해 주어진다.
$$ \vec{F}_g = -\frac{GMm}{r^2}\hat{r} $$
점 질량 $m$을 무한대에서 $M$으로부터 최종 거리 $R$까지 가져오는 데 중력이 한 총 일은 다음과 같다.
$$ W_g = \int \vec{F}g \cdot d\vec{r} = -\int{\infty}^{R} \frac{GMm}{r^2} dr = \frac{GMm}{R} $$
따라서 중력 위치 에너지는
$$ U = -\frac{GMm}{R} $$
이다. 여기서 $G$는 중력 상수($6.67430 \times 10^{-11},\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$)이다.
2.2 지구 표면 근처에서의 근사
지구 표면 근처($h \ll R$)에서는 중력장이 거의 일정하므로 중력 에너지가 크게 단순화된다. 지표면(중심에서 $R$ 거리)에서 표면 위 $h$ 높이로 이동할 때의 위치 에너지 변화는
$$ \Delta U = mgh $$
로 주어진다. 여기서 $g = GM/R^2 \approx 9.8,\mathrm{m/s^2}$는 중력 가속도이다. 이는 중·고등학교 물리학에서 배우는 익숙한 공식이다.
3. 일반 상대성이론에서의 중력 에너지
일반 상대성이론에서 중력 에너지는 극히 복잡하며, 개념에 대한 단일한 합의된 정의는 없다. 아인슈타인의 이론에 따르면 질량은 시공간을 왜곡시키고, 중력은 뉴턴의 제1법칙의 자연스러운 결과(측지선 운동)로 나타난다.
중력 에너지는 때로 란다우-리프시츠 유사텐서(Landau-Lifshitz pseudotensor)를 통해 모델링되며, 이는 고전역학의 에너지-운동량 보존 법칙을 유지할 수 있게 한다. 물질의 에너지-운동량 텐서를 란다우-리프시츠 유사텐서에 더하면 모든 좌표계에서 4-발산이 0이 되는 결합된 물질 및 중력 에너지 유사텐서가 생성되어 보존 법칙을 보장한다.
4. 중력 결합 에너지
중력 결합 에너지(gravitational binding energy)는 시스템이 중력적으로 구속 상태에 있지 않게 되기 위해 시스템에 추가되어야 하는 최소 에너지이다. 균일한 밀도를 가진 구형 물체의 경우, 뉴턴 중력에서 중력 결합 에너지는 다음 공식으로 주어진다.
$$ U = -\frac{3GM^2}{5R} $$
지구의 경우(균일 밀도 가정 시) $U \approx 2.24 \times 10^{32},\mathrm{J}$이며, 이는 태양의 총 에너지 출력의 약 일주일치에 해당한다. 실제 지구의 밀도 분포(PREM 모델)를 고려하면 $U \approx 2.49 \times 10^{32},\mathrm{J}$이다.
비리얼 정리(virial theorem)에 따르면, 항성의 중력 결합 에너지는 정역학적 평형이 유지되기 위해 내부 열에너지의 약 두 배이다.
5. 중력 퍼텐셜과의 관계
중력 퍼텐셜(gravitational potential) $\Phi$는 단위 질량당 중력 위치 에너지로 정의된다.
$$ \Phi = \frac{U}{m} = -\frac{GM}{r} $$
중력장 $\vec{g}$는 중력 퍼텐셜의 기울기(gradient)로 표현된다.
$$ \vec{g} = - abla \Phi $$
중력 퍼텐셜의 단위는 J/kg이며, 그 상대적인 차이만이 물리적 의미를 갖는다. 보통 $r \to \infty$일 때 $\Phi \to 0$인 조건을 설정하여 불확실성을 제거한다.
6. 중력 에너지의 활용
6.1 그래비티라이트 (Gravity Light)
영국의 디자이너 짐 리브스와 마틴 리티포드가 제작한 LED 램프로, 무거운 추(돌이나 모래주머니)의 위치 에너지를 이용해 전기를 생산한다. 추가 서서히 내려오면서 톱니바퀴를 돌려 발전하는 원리이다.
6.2 중력 에너지 저장 시스템
- 그라비트리시티(Gravitricity): 폐기된 깊이 1km 샤프트를 이용해 500~5,000톤 추를 상하로 움직여 에너지를 저장/출력한다. 신호 후 1초 안에 에너지 입출력이 가능하다.
- 그래비티파워(Gravity Power): 지하에 대량의 물을 저장하고 거대한 피스톤을 상하로 움직여 에너지를 저장한다.
- 에너지볼트(Energy Vault): 110m 높이 타워에 6개 크레인으로 무게 35톤의 콘크리트 블록을 상하 운동시켜 최대 80MWh의 에너지를 저장한다. '콘크리트 배터리'라고도 불린다.
이러한 중력 에너지 저장 시스템은 리튬이온 배터리보다 경제적이고 친환경적이지만, 초기 구축 비용이 높다는 단점이 있다.
7. 같이 보기
- 중력
- 중력 퍼텐셜
- 중력 결합 에너지
- 위치 에너지
- 만유인력의 법칙
- 일반 상대성이론
- 에너지 보존
8. 참고 문헌
- Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press.
- Douglas W. MacDougal, Newton's Gravity: An Introductory Guide to the Mechanics of the Universe, Springer Science & Business Media, 2012.
- Alan Guth, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins, Random House, 1997, Appendix A—Gravitational Energy.
- Fitzpatrick, Richard, "Gravitational potential energy", farside.ph.utexas.edu, The University of Texas at Austin, 2006.
- Chandrasekhar, S., An Introduction to the Study of Stellar Structure, University of Chicago, 1939.
