정의
준정다면체(准正多面体, semiregular polyhedron)는 모든 꼭짓점에서 동일한 정다각형들의 배열이 이루어지는, 각 면이 정다각형으로 이루어진 입체다. 즉, 정다면체(모든 면과 꼭짓점이 동일한 정다각형)와는 달리, 두 종류 이상의 정다각형이 섞여 있을 수 있으나 정다각형이 사용되며, 꼭짓점 주변의 면 배열(정점 전형)은 전부 동일하다. 이러한 조건을 만족하는 3차원 입체를 통틀어 “준정다면체”라 한다.
역사
17세기 후반 레온하르트·오일러와 요하네스·키리히 등에게서 시작된 다면체 연구에서, 정다면체와 별도로 정다각형 면이 혼합된 입체가 존재함이 밝혀졌다. 19세기 초 영국의 조지·아키메데스(Archimedes)가 13가지의 구체적인 형태를 제시하면서, 현재는 “아키메데스 입체” 혹은 “준정다면체”라고 통칭한다.
분류
준정다면체는 크게 두 그룹으로 나뉜다.
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볼록 준정다면체 – 13종의 아키메데스 입체가 포함된다.
- 트라코이드(Truncated tetrahedron)
- 정육면체 정사각형 각형(Truncated octahedron) 등 13가지 전부는 각 꼭짓점에서 동일한 면 배열을 가진다.
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비볼록(축소) 준정다면체 – 제한된 경우에만 언급되며, 대부분의 참고 문헌에서는 다루지 않는다.
특징
- 대칭성: 모든 준정다면체는 정다면체와 마찬가지로 높은 대칭성을 가진다. 회전 대칭군은 해당 입체의 정점 전형에 따라 결정된다.
- 면 구성: 사용되는 정다각형은 보통 정삼각형, 정사각형, 정오각형이 조합된다. 예를 들어, 트라코이드(Truncated icosahedron)는 정오각형과 정육각형이 교대로 배치된다.
- 정점 전형: 모든 꼭짓점에서 동일한 종류와 순서의 면이 만나며, 이를 ‘정점 전형(vertex configuration)’으로 표기한다. 예) (3,4,3,4) – 정삼각형‑정사각형‑정삼각형‑정사각형이 순환.
예시 (볼록 준정다면체 13종)
| 번호 | 이름(영문) | 한국어 명칭 | 정점 전형 | 면 구성 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Truncated tetrahedron | 절단 사면체 | 3·6·6 | 정삼각형 4면, 정육각형 4면 |
| 2 | Truncated octahedron | 절단 팔면체 | 4·6·6 | 정사각형 8면, 정육각형 6면 |
| 3 | Truncated cube | 절단 정육면체 | 3·8·8 | 정삼각형 8면, 정팔각형 6면 |
| 4 | Truncated dodecahedron | 절단 십이면체 | 3·10·10 | 정삼각형 20면, 정십각형 12면 |
| 5 | Truncated icosahedron | 절단 이십면체 | 5·6·6 | 정오각형 12면, 정육각형 20면 |
| 6 | Cuboctahedron | 입방팔면체 | 3·4·3·4 | 정삼각형 8면, 정사각형 6면 |
| 7 | icosidodecahedron | 이십오면체 | 3·5·3·5 | 정삼각형 20면, 정오각형 12면 |
| 8 | Rhombicuboctahedron | 사각오각면체 | 4·3·4·3 | 정사각형 18면, 정삼각형 8면 |
| 9 | Truncated cuboctahedron | 절단 입방팔면체 | 3·8·8·4 | 정삼각형 12면, 정팔각형 8면, 정사각형 6면 |
| 10 | Truncated icosidodecahedron | 절단 이십오면체 | 3·10·10·4 | 정삼각형 20면, 정십각형 12면, 정사각형 30면 |
| 11 | Snub cube | 뒤틀린 정육면체 | 3·3·3·3·4 | 정삼각형 32면, 정사각형 6면 |
| 12 | Snub dodecahedron | 뒤틀린 이십면체 | 3·3·3·3·5 | 정삼각형 80면, 정오각형 12면 |
| 13 | Great rhombicosidodecahedron (가끔 포함) | 대형 사각오각면체 | 4·5·4·5 | 정사각형 30면, 정오각형 20면, 정오각형 12면 |
※ 위 표는 일반적인 학술 자료에 기반한 대표적인 전형을 제시한다.
수학적 성질
- 오일러 공식 V − E + F = 2 (V: 꼭짓점 수, E: 모서리 수, F: 면 수) 를 만족한다.
- 볼록성: 볼록 준정다면체는 전부 볼록 다면체이며, 각 면이 평면이다.
- 입체 각도: 각 꼭짓점에서 이루어지는 입체 각도는 360°보다 작으며, 동일한 값을 갖는다.
관련 개념
- 정다면체(regular polyhedron) – 모든 면과 꼭짓점이 동일한 다면체.
- 균등다면체(uniform polyhedron) – 면이 정다각형이며 정점 전형이 동일한 다면체. 준정다면체는 균등다면체의 한 종류이다.
- 아키메데스 입체(Archimedean solid) – 볼록 준정다면체를 가리키는 전통적 명칭.
참고 문헌
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed., Dover Publications, 1973.
- Wikipedia contributors, “Semiregular polyhedron,” Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed 2026).
- Kim, J.-H. “준정다면체와 그 변형,” 한국수학회지, vol. 55, no. 3, 2020, pp. 215‑230.
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