정의
조화수열(和諧數列, 영어: harmonic sequence)은 각 항이 양의 정수 $n$ 에 대한 역수인 수열 $\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 로 정의한다. 즉, 1, $\frac12$, $\frac13$, $\frac14$, … 와 같이 전형적인 형태를 가진다.
개요
조화수열은 수학, 특히 해석학과 수론에서 기본적인 예시 중 하나로 자주 등장한다. 이 수열의 부분합인 조화급수 $\displaystyle H_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$ 은 발산하지만, 각 항 자체는 0에 수렴한다. 조화수열은 등비수열·등차수열과는 달리 항 사이의 비가 일정하지 않으며, 항들의 차이가 점점 작아지는 특성을 가진다.
어원·유래
‘조화(和諧)’는 ‘조화롭다’, ‘화합하다’는 뜻을 가지며, 서양 수학 용어 “harmonic”을 번역한 것이다. “harmonic”은 고대 그리스에서 현악기의 배음 관계를 나타내던 ‘조화음’에 기인한다. 한국어에서는 20세기 초 서구 수학 서적이 번역되면서 ‘조화수열’이라는 명칭이 정착되었다. 정확한 최초 사용 시점은 확인되지 않는다.
특징
| 구분 | 내용 |
|---|---|
| 일반항 | $a_n = \frac{1}{n}$ |
| 수렴성 | $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0$ (각 항은 0에 수렴) |
| 부분합 | 조화급수 $H_N = \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$ 은 $N\to\infty$ 일 때 무한히 커져 발산한다(로그 성장: $H_N \sim \ln N + \gamma$, $\gamma$는 오일러–마스케로니 상수) |
| 비율 | $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n}{n+1} < 1$ 로, 비가 점차 1에 접근한다 |
| 차 | $\displaystyle a_n - a_{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ 로, 차는 $O!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ 로 감소한다 |
| 연관된 식 | 조화수열의 평균값은 $\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}= \frac{H_N}{N}$ 로, $N$이 커질수록 0에 수렴한다 |
| 응용 | 분석학(발산·수렴 판정), 정보이론(엔트로피 근사), 물리학(공명 주파수) 등에서 모델링에 활용된다 |
관련 항목
- 조화급수
- 급수(수학)
- 로그 함수
- 오일러–마스케로니 상수
- 등비수열, 등차수열
- 수렴 판정 기준(비교판정법, 적분판정법 등)
※ 본 항목은 수학 분야에서 널리 사용되는 표준 개념이며, 현재까지 공신력 있는 자료에 따라 정리되었다.