조화급수(harmonic series)는 각 항이 자연수의 역수로 이루어진 무한급수로, 수학적으로 ∑_{k=1}^{∞} 1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯로 표현된다. 이 급수의 각 항은 점차 0에 가까워지지만, 총합은 무한대로 발산한다는 것이 해석학에서 잘 알려져 있다.
명칭의 유래
조화급수라는 명칭은 음악의 화성학과 배음(harmonics) 현상에서 유래하였다. 악기의 진동하는 현에서 발생하는 배음의 파장은 기본 파장의 1/2, 1/3, 1/4, ...에 해당하며, 이 수열이 조화급수의 항과 일치한다. 또한 이웃한 값들의 조화 평균(harmonic mean)과의 관계에서도 명칭이 비롯되었다.
역사
조화급수의 발산성은 14세기 프랑스의 수학자 니콜 오렘(Nicole Oresme)에 의해 처음 증명되었으나, 이 발견은 이후 오랫동안 잊혀졌다. 17세기에 이르러 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli), 요한 베르누이(Johann Bernoulli), 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)에 의해 다시 독립적으로 증명되었다. 역사적으로 조화급수는 바로크 시대 건축가들에게 건축물의 비례와 디테일의 조화를 위해 사용되기도 하였다.
발산성
조화급수의 각 항은 0으로 수렴하지만, 급수 자체는 무한대로 발산한다. 이는 급수의 수렴에 있어 항의 극한값이 0이라는 조건이 필요조건일 뿐 충분조건이 아님을 보여주는 대표적인 예시이다. 발산 속도는 매우 느려서, 부분합은 자연로그 ln n에 근접하게 증가한다. 구체적으로 조화급수의 처음 10⁴³개의 항을 더해도 합이 100을 넘지 않을 정도로 느리게 발산한다.
발산성은 여러 방법으로 증명된다. 니콜 오렘의 방법은 항을 2ⁿ개씩 묶어 비교하는 비교판정법을 사용하며, 각 묶음의 합이 1/2보다 크다는 사실을 이용한다. 또한 적분판정법을 통해서도 증명할 수 있는데, 함수 f(x)=1/x의 1부터 ∞까지의 이상적분이 발산하므로 조화급수도 발산한다.
관련 개념
조화급수의 부분합 H_N = ∑_{k=1}^{N} 1/k와 자연로그 ln N의 차이는 N이 커짐에 따라 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant) γ ≈ 0.5772156649...로 수렴한다. 이 상수가 유리수인지 무리수인지는 현재까지 증명되지 않았다.
조화급수는 리만 제타 함수 ζ(s)에 s=1을 대입한 경우에 해당하며, 이로 인해 리만 제타 함수는 s=1에서 특이점(단순 극)을 가진다.
부호를 번갈아가며 더한 교대조화급수(alternating harmonic series) ∑_{k=1}^{∞} (-1)^{k-1}/k = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ⋯는 ln 2로 수렴하지만, 절대수렴하지는 않는다. 따라서 교대조화급수는 조건수렴하며, 리만 재배열 정리에 따라 항의 순서를 재배열하여 임의의 실수 값으로 수렴하도록 만들 수 있다.
