조화 평균(harmonic mean)은 통계·수학에서 사용되는 평균값 중 하나로, 주어진 양들의 역수의 산술 평균의 역수를 취하여 정의된다.
정의
양 $x_1, x_2, \dots, x_n$ (모두 0이 아닌 실수)에 대하여 조화 평균 $H$는 다음과 같이 정의한다.
$$ H = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} $$
위 식에서 $n$은 관측값(또는 자료)의 개수이다.
성질
-
양수에 대한 순서
양수인 경우, 조화 평균은 산술 평균 $A$와 기하 평균 $G$ 사이에 위치한다. 즉
$$ H \leq G \leq A $$ 이때 등호는 모든 $x_i$가 동일할 때만 성립한다. -
역수와의 관계
조화 평균은 각 값의 역수에 대한 산술 평균을 취한 뒤, 그 결과의 역수와 동일하다. -
가중 조화 평균
가중치를 $w_i>0$ ($ \sum w_i =1$) 로 두고 정의하면
$$ H_w = \frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{w_i}{x_i}} $$ -
스케일 불변성
모든 $x_i$에 일정한 양의 상수 $c$를 곱하면 조화 평균도 $c$배가 된다: $H(c x_1,\dots,c x_n) = c,H(x_1,\dots,x_n)$.
적용 분야
-
속도·시간 문제
일정 거리 $d$를 서로 다른 속도 $v_i$로 이동한 전체 평균 속도는 조화 평균으로 구한다.
$$ v_{\text{avg}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{v_i}} $$ -
전기 회로
병렬 연결된 저항들의 등가 저항은 조화 평균에 비례하는 형태로 계산된다. -
경제·금융
주가 수익률, 가격-수량 비율 등 비율 데이터의 평균을 구할 때 사용한다. -
통계·데이터 분석
비율·비중이 중요한 경우(예: 평균 비용·시간·밀도 등) 조화 평균이 산술 평균보다 왜곡을 적게 만든다.
역사·배경
조화 평균은 고대 그리스 수학자 에우클리드와 아르키메데스 등에게서 시작된 ‘역수 평균’ 개념에 뿌리를 두고 있다. 현대 수학에서는 19세기 이후 평균의 일반화 과정(산술·기하·조화 평균 등)에서 명확히 정의되었으며, 특히 20세기 통계학과 물리학에서 널리 활용되었다.
관련 평균
- 산술 평균 $A = \frac{1}{n}\sum x_i$ : 값 자체의 평균.
- 기하 평균 $G = \bigl(\prod x_i\bigr)^{1/n}$ : 곱의 n제곱근.
- 조화 평균 $H$ : 역수의 산술 평균의 역수.
이들 평균은 모두 양수 집합에 대해 $H \le G \le A$ 라는 불등식(Hölder 평균 불평등)으로 연결된다.
조화 평균은 “비율·속도·저항 등 역수와 관련된 양의 평균”이라는 특수한 상황에서 가장 직관적인 평균값을 제공한다는 점에서, 다양한 과학·공학·경제 분야에서 필수적인 도구로 활용된다.