정의
제로섬게임(Zero‑sum game)은 게임 이론에서 다루는 특수한 형태의 게임으로, 모든 플레이어의 순이익(또는 순손실)의 총합이 언제나 0이 되는 상황을 말한다. 즉, 한 플레이어가 얻는 이익은 다른 플레이어가 잃는 이익과 정확히 일치한다【1】.
수학적 형식화
- 두 명 플레이어의 경우: 일반적으로 2인 제로섬게임은 두 플레이어 A와 B가 각각 전략 집합 $S_A, S_B$ 를 가지고, 보수 행렬 $M$ (또는 보상 함수 $u_A(s_A,s_B)$) 로 표현된다.
- A의 보상 $u_A(s_A,s_B)=M_{ij}$ (i는 A의 전략, j는 B의 전략)이고, B의 보상는 $u_B(s_A,s_B) = -u_A(s_A,s_B)$ 로 정의된다.
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미니맥스 정리: 1928년 폰·노이만(Johann von Neumann)은 모든 유한 2인 제로섬게임에 대해 다음이 성립함을 증명하였다.
\min_{q\in\Delta(S_B)}\max_{p\in\Delta(S_A)} p^{\top} M q $$ 여기서 $\Delta(S)$는 해당 전략 집합 위의 확률분포(혼합전략)를 의미한다. 이 값은 게임 가치(value) 라고 불리며, 각 플레이어는 최적의 혼합전략을 선택함으로써 기대 보상을 이 값에 맞출 수 있다【1】.
$$ \max_{p\in\Delta(S_A)}\min_{q\in\Delta(S_B)} p^{\top} M q
주요 성질
- 균형: 제로섬게임에서는 최소한 하나의 내시균형(Nash equilibrium)이 존재한다. 내시균형은 양측이 최적 전략을 선택했을 때, 상대가 전략을 바꾸어도 자신의 기대 보상이 증가하지 않는 상태이다.
- 전략의 유형: 순수전략과 혼합전략이 모두 고려된다. 대부분의 실제 제로섬게임은 혼합전략이 최적 해를 제공한다.
대표적인 예시
- 포커: 각 라운드에서 한 플레이어가 얻는 금액은 다른 플레이어가 잃는 금액과 동일하므로 전형적인 제로섬게임이다.
- 체스·바둑·리버시 등 승패가 명확히 구분되는 두 사람 대결 게임.
- 경제·군사 모델: 경쟁 기업 간 시장 점유율 전쟁, 군사 작전에서 적군의 손실이 자군의 이득으로 직접 연결되는 상황 등도 제로섬 가정으로 모델링될 수 있다【2】.
학문적 배경
게임 이론은 20세기 초 응용수학의 한 분야로 시작했으며, 이후 경제학, 정치학, 인류학 등 다양한 분야에 적용되었다. 제로섬게임은 그 중에서도 가장 기본적인 모델로, 비제로섬게임(합이 0이 아닌 경우)과 대비되어 게임 이론 전반의 기초를 형성한다【2】【3】.
한계 및 비판
현실 세계의 대부분 상황은 완전한 제로섬 구조를 갖지 않는다. 따라서 제로섬게임 모델은 특정 상황을 단순화하거나 근사화하는 도구로 활용되며, 적용 범위와 가정에 대한 명확한 검토가 필요하다.
참고 문헌
- “게임 이론( Game Theory ) - Free Will - 티스토리”. https://ldne.tistory.com/233
- 매일경제, “[매경이코노미스트]
제로섬 게임얼마나 아시나요”. https://www.mk.co.kr/news/contributors/10174124 - Reddit, “‘제로섬 게임’에 대한 쉬운 설명”. https://www.reddit.com/r/askmath/comments/1ngdlc7/a_simple_explanation_of_zero_sum_game/?tl=ko