정십이면체(正十二面體, regular dodecahedron)는 모든 면이 합동인 정오각형으로 이루어진 정다면체이다. 플라톤 입체(Platonic solid) 다섯 가지 중 하나에 속한다.
기하학적 성질
- 면(Face): 정오각형 12개
- 모서리(Edge): 30개
- 꼭짓점(Vertex): 20개
- 꼭짓점 도형(Vertex figure): 정삼각형 (세 개의 정오각형이 각 꼭짓점에서 만남)
- 쌍대다면체(Dual polyhedron): 정이십면체(Regular icosahedron)
수치적 특성 (모서리 길이를 $a$라 할 때)
- 표면적: $A = 3\sqrt{25+10\sqrt{5}},a^2 \approx 20.6457,a^2$
- 부피: $V = \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5}),a^3 \approx 7.6631,a^3$
- 외접구 반지름: $R = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4},a \approx 1.4013,a$
- 내접구 반지름: $r = \frac{\sqrt{10(25+11\sqrt{5})}}{20},a \approx 1.1135,a$
- 중구 반지름 (모서리 중점과 닿는 구): $\rho = \frac{3+\sqrt{5}}{4},a \approx 1.3090,a$
대칭성 정십이면체는 정이십면체와 동일한 대칭군인 이코사헤드론 군(Icosahedral symmetry, $I_h$)을 가지며, 회전 대칭만 고려할 때는 $I$ 군에 속한다. 15개의 이면각 대칭면, 10개의 3배 회전축(대각선 방향), 6개의 5배 회전축(면의 중심을 지나는 축), 15개의 2배 회전축(모서리 중점을 지나는 축)을 갖는다.
황금비와의 관계 정십이면체의 기하학적 특성 다수에는 황금비 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$가 필수적으로 등장한다. 예를 들어, 꼭짓점 좌표는 $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$과 $(0, \pm \phi, \pm \phi^{-1})$, $(\pm \phi^{-1}, 0, \pm \phi)$, $(\pm \phi, \pm \phi^{-1}, 0)$의 순열로 표현할 수 있다. 면의 대각선 길이와 모서리 길이의 비율도 황금비이다.
용도 및 사례
- 주사위(D12)로 널리 사용된다.
- 일부 바이러스의 캡시드 구조(예: 특정 박테리오파지)나 분자 구조(예: 도데카헤드레인 가설 구조)에서 발견된다.
- 천문학에서는 우주의 토폴로지 모델 중 하나로 '푸앵카레 도데카헤드론 공간'이 제안된 바 있다.
- 예술 및 건축 분야에서 조형적 아름다움을 위해 활용된다.
