정의
$A$ 를 가환환(단위원소를 포함)이라 하고, $B$ 가 $A$ 위의 대수(또는 $A$ 를 포함하는 가환환)라고 하자.
$B$ 의 원소 $b$ 가 정수적 원소(integral element) 라고 하는 것은 다음과 동등한 조건을 만족하는 경우를 의미한다.
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단조 다항식 존재
$b$ 가 $A$ 계수의 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}$ (모든 $a_i\in A$) 와 같은 단조(monic) 다항식을 만족한다. 즉
$$ b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{0}=0 . $$ -
유한 생성 모듈
$A[b]$ (즉, $b$ 로 생성된 $A$-부분대수)가 $A$ 위에서 유한하게 생성된 모듈이 된다.
위 두 조건은 동일한 의미를 갖으며, 정수적 원소의 핵심은 “$A$ 의 원소들만으로 구성된 단조 다항식에 대입했을 때 0이 되는” 점이다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 전이성 | $A\subseteq B\subseteq C$ 가 가환환이며, $b\in C$ 가 $B$ 위 정수적이고, $B$ 가 $A$ 위 정수적이면 $b$ 는 $A$ 위 정수적이다. |
| 정수적 닫힘 | $A$ 의 정수적 닫힘 $\overline{A}$ 은 $A$ 위 모든 정수적 원소들의 집합이며, $\overline{A}$ 은 $A$ 로부터 정수적 확장(integral extension)이다. |
| 정규성 | $A$ 가 정규(정수적 닫힘)인 경우, $A$ 위의 정수적 원소는 전부 $A$ 에 속한다. |
| 곱셈·덧셈에 대한 닫힘 | 정수적 원소들의 합·곱은 다시 정수적 원소가 된다. 따라서 정수적 원소들의 집합은 부분환을 이룬다. |
대표적인 예
| 예 | 설명 |
|---|---|
| 정수와 유리수 | $\mathbb{Z}$ 위의 $\mathbb{Q}$ 의 원소 중 정수적 원소는 바로 $\mathbb{Z}$ 자체이다(단조 다항식 $x-a=0$). |
| 대수정수 | 복소수체 $\mathbb{C}$ 에서 $\mathbb{Z}$ 위 정수적 원소는 대수정수(algebraic integer)라 불리며, 이는 $\mathbb{Z}$ 계수의 단조 다항식의 근이다. |
| 다항식 환 | $\mathbb{Z}[x]$ 에서 $x$ 자체는 $\mathbb{Z}[x]$ 위 정수적이다(다항식 $t-x=0$ 은 단조다항식이 아니다; 하지만 $x$는 자체가 생성원이라 정수적이라기보다 “정수적 확장”에 해당한다). |
| 행렬 | 행렬 $M\in M_n(R)$ 가 $R$ 위 정수적 원소가 되려면, 그 특성다항식이 단조 다항식이어야 한다(즉, 행렬이 자체로 만족하는 단조 다항식이 존재). |
관련 개념
- 정수적 확장 (integral extension): $A\subseteq B$ 가 모든 $b\in B$ 에 대해 정수적 원소를 만족할 때.
- 정수적 닫힘 (integral closure): $A$ 를 포함하는 가장 작은 정수적 확장 $\overline{A}$.
- 정규화 (normalization): 정수적 닫힘이면서 최소한의 특성을 만족하는 과정; 대수기하학에서 정규 스키마를 얻는 데 활용된다.
참고문헌 (학술 서적)
- M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Chap. 5 – Integral Dependence.
- H. Matsumura, Commutative Ring Theory, §9 – Integral Extensions.
- J. S. Milne, Algebraic Number Theory, §1 – Algebraic Integers.
위와 같이 “정수적 원소”는 대수학, 특히 가환환 이론과 대수정수론에서 널리 쓰이는 표준 개념이다.
