정사면체(正四面體)는 네 개의 정삼각형 면으로 이루어진 3차원 정다면체이다. 한 개의 꼭짓점에 세 개의 정삼각형 면이 만나는 형태를 가지며, 오일러 표수가 2인 볼록 다면체의 일종이다.
정의와 구조
정사면체는 모든 면이 합동인 정삼각형인 사면체로, 사면체 중에서 가장 규칙적인 형태를 지닌다. 정사면체는 다섯 가지 정다면체(플라톤 입체) 중 가장 단순한 형태로, 네 개의 면(F=4), 여섯 개의 모서리(E=6), 네 개의 꼭짓점(V=4)으로 구성된다. 이는 오일러의 다면체 정리 V - E + F = 2를 만족한다.
정사면체는 모든 면이 정삼각형인 삼각뿔이며, 쌍대 다면체(dual polyhedron)는 자기 자신이다. 슐레플리 기호로는 {3,3}으로 표기하며, 대칭군은 Td([3,3], (*332))로 표현된다.
수학적 성질
한 변의 길이가 a인 정사면체에 대해 다음과 같은 수식이 성립한다.
- 부피: V = (√2/12)a³
- 겉넓이: A = √3 a²
- 높이: h = (√6/3)a
두 면 사이의 각(이면각)은 arccos(1/3) ≈ 70.53°이다. 밑면과 모서리 사이의 각은 arctan(√2) ≈ 55°이다.
정사면체는 단독으로는 3차원 유클리드 공간을 빈틈없이 채울(타일링) 수 없으나, 정팔면체와 조합하여 배열할 경우 3차원 공간을 가득 채울 수 있다.
용어와 배경
'정(正)'은 '바르다' 또는 '규칙적이다'를 의미하며, '사면체(四面體)'는 네 개의 면으로 이루어진 다면체를 지칭한다. 정사면체는 수학 교육 과정에서 기본적인 공간 도형으로 다루어지며, 기하학, 화학(분자 구조), 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.
정사면체는 플라톤 다면체 중 하나로, 고대 그리스 철학자 플라톤이 체계적으로 연구한 것으로 알려져 있으며, 이 때문에 '플라톤 입체'라고도 불린다.
