정사각수(正四角數, 영어: square number)는 수학에서 어떤 자연수의 제곱이 되는 수를 의미한다. 제곱수(－數) 또는 완전제곱수(完全－數, 영어: perfect square number)라고도 불리며, 기하학적으로 볼 때 정사각형 모양의 배열로 나타낼 수 있는 수이다.
음이 아닌 정수 n에 대하여 n²의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 정사각수라고 정의한다. 처음 몇 개의 정사각수는 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 등이 있다.
정사각수의 주요 성질로는 다음과 같은 것들이 알려져 있다. 모든 정사각수는 홀수개의 약수를 가진다. 또한 모든 정사각수는 완전수가 아니다. 정사각수는 1부터 시작하는 연속된 홀수의 합과 같다는 성질이 있으며, 음이 아닌 정수 n에 대하여 n² = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)의 관계가 성립한다. 이는 기하학적으로 정사각형을 확장하는 과정에서 시각적으로 이해할 수 있다.
라그랑주 네 제곱수 정리(Lagrange's four-square theorem)에 따르면, 모든 자연수는 최대 네 개의 정사각수의 합으로 표현이 가능하다.
정사각수의 개념을 공간으로 확장하면, 물체를 사각뿔 모양으로 배치했을 때의 총 개수를 나타내는 사각뿔수를 얻을 수 있다. 제n 사각뿔수는 제1 정사각수부터 제n 정사각수까지의 합이며, 그 값은 n(n+1)(2n+1)/6으로 표현된다. 사각뿔수는 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... 순으로 이어진다. 사각뿔수는 사면체수와 밀접한 연관이 있으며, 이웃한 두 사면체수의 합은 사각뿔수가 되는 성질이 있다.
한편, 정사각수는 삼각수, 오각수 등과 함께 다각수(polygonal number, 多角數)의 한 종류로 분류되며, 정사각형에 배열된 점의 수를 나타내는 평면 도형수로 이해될 수 있다.
