정규 함수

정규 함수(Regular function)는 수학의 여러 분야에서 “정의역 전체에서 ‘규칙적’으로 정의되는 함수”를 의미한다. 분야별 주요 의미는 다음과 같다.

• 복소 해석학

  • 정의역이 복소 평면(또는 복소 다양체)인 경우, 정규 함수는 정의역 전체에서 해석적(holomorphic)인 함수를 말한다. 즉, 복소 미분이 가능한 함수이며, 특이점이 없고 무한히 미분 가능하다. 대표적인 예로 다항식, 유리함수(분모가 영이 아닌 영역에서) 등이 있다.

• 대수기하학

  • 대수다양체 $X$ 위의 정규 함수는 각 점 근방에서 다항식으로 표현될 수 있는 사영 사영사(multivariate polynomial) 형태의 함수를 의미한다. 보다 형식적으로는 $X$의 구조층 $\mathcal{O}_X$의 전역 절단 (global sections)인 $\Gamma(X,\mathcal{O}_X)$에 속하는 원소이다. 정규 함수는 대수다양체와 아핀 직선 $\mathbb{A}^1$ 사이의 사상(morphism)으로 해석된다.

• 실해석 및 미분기하학

  • 실수 영역에서 “정규 함수”라는 용어는 드물게 사용되며, 보통 “연속”, “미분 가능”, “매끄러운(smooth)” 등의 속성을 별도로 명시한다. 그러나 특정 문맥(예: 정규화된 확률밀도 함수)에서는 “정규화된(normalized)”라는 의미와 혼동될 수 있다.

어원 및 용어 사용

‘정규(regular)’는 라틴어 regularis에서 유래했으며, “규칙을 따르는”, “일정한 형태를 갖는”이라는 의미를 갖는다. 수학에서는 “특이점이 없고, 전역적으로 정의된” 함수를 지칭하기 위해 차용되었다. 한국어에서는 ‘정규함수’ 혹은 ‘정규 함수’라는 형태로 표기된다.

관련 개념

• 정규성(regularity): 함수나 해석 대상이 매끄럽고 특이점이 없음을 나타내는 일반적 속성.
• 정규 변환(regular transformation), 정규 매핑(regular map): 정규 함수와 마찬가지로 정의역 전체에서 다항식 혹은 해석적으로 정의되는 사상.
• 정규분포(Normal distribution)와는 의미가 전혀 다르며, 혼동을 피하기 위해 문맥에 따라 구분한다.

주의: “정규 함수”라는 용어는 학문 분야에 따라 구체적 정의가 다를 수 있다. 따라서 특정 분야의 텍스트를 읽을 때는 해당 분야에서 채택한 정의를 확인하는 것이 필요하다.