수학, 특히 군론에서 정규 부분군(正規部分群, normal subgroup)은 주어진 군의 특정한 성질을 만족하는 부분군이다. 군 $G$의 부분군 $N$이 다음 조건 중 하나 이상을 만족하면 $N$을 $G$의 정규 부분군이라고 한다.
- $G$의 모든 원소 $g$에 대해, $gNg^{-1} = N$이다. 여기서 $gNg^{-1} = { gng^{-1} \mid n \in N }$이다.
- $G$의 모든 원소 $g$에 대해, $gN = Ng$이다. 즉, 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 같다.
- $N$은 $G$의 켤레 작용에 대해 닫혀 있다. 즉, $N$의 모든 원소 $n$에 대해, $G$의 모든 원소 $g$에 대해 $gng^{-1} \in N$이다.
정규 부분군은 군의 구조를 분석하고, 몫군을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 군 $G$의 정규 부분군 $N$이 주어지면, 몫군 $G/N$을 정의할 수 있다. 몫군은 $N$에 대한 $G$의 잉여류들의 집합이며, 군 연산은 $(aN)(bN) = (ab)N$으로 정의된다.
정규 부분군의 표기는 $N \triangleleft G$ 또는 $N \unlhd G$로 나타낸다. 여기서 $N$은 $G$의 정규 부분군임을 의미한다.
예시
- 모든 군 $G$에 대해, 자명한 부분군 ${e}$ (여기서 $e$는 $G$의 항등원)과 $G$ 자신은 항상 $G$의 정규 부분군이다.
- 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이다.
- 교대군 $A_n$은 대칭군 $S_n$의 정규 부분군이다.
성질
- 부분군 $N$이 $G$의 정규 부분군일 필요충분조건은 $N$이 어떤 군 준동형 사상 $\phi : G \rightarrow H$의 핵(kernel)인 것이다. 즉, $N = \text{ker}(\phi)$이다.
- 정규 부분군의 교집합은 정규 부분군이다.
- $N$이 $G$의 정규 부분군이고 $H$가 $G$의 부분군이면, $NH = { nh \mid n \in N, h \in H }$는 $G$의 부분군이다.
정규 부분군은 군론의 기본적인 개념이며, 갈루아 이론, 표현론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.