일반위상수학에서 점렬 콤팩트 공간(點列compact空間, 영어: sequentially compact space)은 모든 점렬(수열)이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 위상 공간이다. 이는 위상 공간의 콤팩트성 개념과 밀접하게 관련되어 있으나, 일반적인 위상 공간에서는 콤팩트 공간과 점렬 콤팩트 공간이 서로 함의 관계를 갖지 않는다.
정의
위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면 점렬 콤팩트 공간이라고 한다.
- 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 점렬 $(x_n){n=0}^{\infty} \subseteq X$에 대하여, $x{n_i} \to x$인 $x \in X$ 및 $n_0 < n_1 < n_2 < \cdots$가 존재한다.
성질
점렬 콤팩트 공간은 다음과 같은 성질을 갖는다.
- 가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 점렬 콤팩트 공간이다.
- $\aleph_1$개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.
- 점렬 콤팩트 공간의 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.
- 점렬 콤팩트 공간의 연속적 상(continuous image)은 점렬 콤팩트 공간이다.
함의 관계
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
- 제1 가산 공간에서는 점렬 콤팩트 공간과 가산 콤팩트 공간이 서로 동치이다.
- 제2 가산 공간에서는 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간이 모두 서로 동치이다.
- 거리화 가능 공간에서는 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간, 유사 콤팩트 공간이 모두 서로 동치이다. 즉, 거리 공간에서 점렬 콤팩트성은 콤팩트성과 동일한 개념이 된다.
예
- 콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간: 최소 비가산 순서수 $\omega_1$은 (순서 위상에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간은 아니다.
- 점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간: 두 점 이산 공간의 $2^{\aleph_0}$개 곱공간 $2^{\times 2^{\aleph_0}}$은 티호노프 정리에 따라 콤팩트 공간이지만 점렬 콤팩트 공간은 아니다. 또한 가산 무한 이산 공간의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta \mathbb{N}$도 콤팩트 공간이지만 점렬 콤팩트 공간이 아니다.
어원
"점렬 콤팩트 공간"이라는 용어는 한자어 點列(점점, 점렬: 점을 나열한 것, 즉 수열)과 영어 compact(콤팩트: 조밀한, 옹골찬)의 음차, 그리고 空間(공간)의 합성어이다. 영어 명칭 sequentially compact space는 "모든 수열(sequence)이 수렴하는 부분 수열을 갖는다"는 정의에서 유래하였다.
