정의
절댓값(absolute value)은 실수 또는 복소수와 같은 수의 크기를 나타내는 값으로, 그 수가 원점(0)에서 떨어진 거리를 의미한다. 실수 $x$에 대해 절댓값은 $|x| = \begin{cases} x & (x \ge 0) \ -x & (x < 0) \end{cases}$ 로 정의된다. 복소수 $z = a + bi$의 경우 절댓값은 $|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 로 정의된다.
개요
절댓값은 수학 전반에 걸쳐 사용되는 기본적인 개념으로, 실수축에서 두 점 사이의 거리, 복소평면에서의 원점으로부터의 거리, 그리고 일반적인 거리 개념(노름)의 특수한 경우로 볼 수 있다. 절댓값 함수는 실수축에서 연속이며, 미분 가능성이 $x
eq 0$인 점에서만 존재한다. 또한 절댓값은 부호가 없는 크기만을 제공하므로, 부호가 중요한 연산에서 중립적인 값으로 활용된다.
어원/유래
‘절댓값’이라는 용어는 영어 “absolute value”를 번역한 것으로, ‘절대(絶對)’는 ‘변함이 없고 한계가 없는’이라는 의미를, ‘값’은 수학적 값 자체를 가리킨다. 따라서 ‘절댓값’은 ‘절대적인(변하지 않는) 값’이라는 의미로, 원점으로부터의 거리라는 개념을 반영한다. 정확한 번역 시점은 20세기 초반에 수학 교육 자료가 한글로 보급되면서 정착된 것으로 알려져 있다.
특징
- 비음성성: $|x| \ge 0$이며, $|x| = 0$은 $x = 0$일 때만 성립한다.
- 대칭성: $|x| = |-x|$ 로, 양수와 음수에 대해 같은 값을 가진다.
- 삼각 부등식: $|x + y| \le |x| + |y|$ 가 항상 성립한다.
- 곱셈에 대한 분배성: $|xy| = |x|,|y|$ 가 성립한다.
- 제곱과 관계: $|x|^{2} = x^{2}$ 로, 절댓값을 제곱하면 원래 수의 제곱과 같다.
- 연속성 및 미분성: 실수축에서 $|x|$는 연속이지만, $x = 0$에서 미분이 존재하지 않는다(좌·우 미분값이 서로 다름).
관련 항목
- 실수, 복소수
- 절대값 함수(Absolute value function)
- 거리 함수, 노름(Norm)
- 삼각 부등식, 코시-슈바르츠 부등식
- 수학 기호 $|;|$ (절댓값 기호)
- 절대값의 일반화(예: 행렬의 스펙트럼 반경, 함수의 최대값)
본 내용은 수학 교과서 및 공신력 있는 수학 참고서에 기반한 일반적인 정의와 특성을 정리한 것이다.