대수적 수론 및 체론에서, 절대 갈루아 군(絶對Galois群, 영어: absolute Galois group)은 주어진 체의 분해 가능 폐포(separable closure)에 대한 갈루아 군을 의미한다. 이는 대수적 수론과 산술 기하학(arithmetic geometry)에서 핵심적인 역할을 하는 수학적 대상이다.
정의
임의의 체 K가 주어졌을 때, K의 분해 가능 폐포를 K^sep라고 하자. K^sep는 K의 갈루아 확대를 이룬다. K가 완전체(perfect field)인 경우, K^sep는 K의 대수적 폐포 K̄와 같다. 이는 예를 들어 표수 0의 체나 유한체에서 성립한다. 이때 갈루아 군
Gal(K^sep/K)
즉, K 위에서 항등인 K^sep의 자기 동형 사상들이 함수의 합성에 따라 이루는 군을 K의 절대 갈루아 군이라고 한다.
분해 가능 폐포 K^sep의 선택에 따라 절대 갈루아 군이 달라질 수 있으나, 이는 체의 확대의 동형 아래 유일하다. 구체적으로 절대 갈루아 군은 "내부 자기 동형"(inner automorphism) 아래 유일하며, 절대 갈루아 군의 군 코호몰로지는 분해 가능 폐포의 선택에 의존하지 않는다.
또한 완전 비분해 확대의 자기 동형군은 자명하므로, 절대 갈루아 군은 대수적 폐포 K̄의 자기 동형군과 동형이다. 다만 대수적 폐포는 갈루아 확대가 아닐 수 있다는 점에 유의해야 한다.
주요 성질
절대 갈루아 군은 사유한군(profinite group)의 구조를 가지며, 크루얼 밀도 정리(Krull density theorem)에 따라 각 유한 갈루아 확대의 갈루아 군들의 사영 극한(projective limit)으로 표현될 수 있다.
노이키르히-우치다 정리(Neukirch–Uchida theorem)에 따르면, 임의의 두 대수적 수체 K₁, K₂에 대하여 그 절대 갈루아 군 사이의 위상군 동형 사상이 존재하는 것과 두 체가 동형인 것은 서로 동치이다. 즉, 대수적 수체의 절대 갈루아 군은 해당 체의 구조를 완전히 결정한다.
역문제
모든 사유한군은 어떤 갈루아 확대의 갈루아 군과 동형이지만, 모든 사유한군이 어떤 절대 갈루아 군과 동형인 것은 아니다. 예를 들어, 아르틴-슈라이어 정리에 따르면 유한 절대 갈루아 군은 자명군이거나 2차 순환군뿐이다.
또한 모든 사영 사유한군(projective profinite group)은 어떤 유사 대수적으로 닫힌 체(pseudo-algebraically closed field)의 절대 갈루아 군과 동형이다. 이 결과는 알렉산데르 루보츠키와 라우 판덴드리스가 증명하였다.
예시
- 대수적으로 닫힌 체의 절대 갈루아 군은 자명군이다.
- 실수체의 절대 갈루아 군 Gal(C/R)은 2차 순환군이며, 이는 항등 함수와 복소켤레 사상으로 이루어진다.
- 임의의 유한체 F_q의 절대 갈루아 군은 정수환의 사유한 완비화 Ẑ와 동형이다. 즉, Gal(F̄_q/F_q) ≅ Ẑ ≅ ∏ₚ Zₚ이 성립하며, 프로베니우스 사상 Frob: x ↦ x^q이 그 위상 생성원을 이룬다.
- p진수체 Q_p의 유한 확대 K에 대하여, p ≠ 2인 경우 K의 절대 갈루아 군은 위상 유한 표시 사유한군이며, 이는 우베 얀센과 카이 빙베르크가 증명하였다. p = 2인 경우는 완전한 묘사가 아직 알려져 있지 않다.
유리수체의 절대 갈루아 군
유리수체 Q의 절대 갈루아 군 Gal(Q̄/Q)의 구조는 아직 완전히 밝혀지지 않았으며, 이는 대수적 수론 및 산술 기하학의 주요 미해결 목표 가운데 하나이다. 벨리 정리에 따라 Gal(Q̄/Q)는 데생당팡들(dessins d'enfants) 위에서 충실하게 작용하며, 그로텐디크-타이히뮐러 군(Grothendieck–Teichmüller group)의 부분군과 동형인 것으로 알려져 있다.
또한 유리수체의 최대 아벨 확대 Q^ab의 절대 갈루아 군이 가산 계수 자유 사유한군인지 여부는 알려지지 않았으며, 이를 샤파레비치 추측(Shafarevich's conjecture)이라고 한다.
유리 함수체
대수적으로 닫힌 체 K의 유리 함수체 K(t)의 절대 갈루아 군은 계수 |K|의 자유 사유한군이다. 이는 표수 0의 경우 아드리앙 두아디가 리만 존재 정리를 사용하여 증명하였고, 일반적인 경우는 데이비드 하베터와 플로리안 포프가 증명하였다.
관련 분야
절대 갈루아 군은 갈루아 이론, 대수적 수론, 산술 기하학, 아나벨 기하학(anabelian geometry), p진 기하학 등 현대 수학의 여러 분야에서 핵심적인 연구 대상으로 다루어진다. 특히 체의 산술적 성질을 군의 구조로 환원하여 연구하는 접근 방식의 중심에 있다.
