전단사 함수는 집합 $A$와 집합 $B$ 사이의 함수 $f: A \rightarrow B$가 전사(surjective)와 단사(injective)를 동시에 만족하는 경우를 말한다. 즉, 모든 $b \in B$에 대해 적어도 하나의 $a \in A$가 존재하여 $f(a)=b$이고, 서로 다른 두 원소 $a_1, a_2 \in A$에 대해 $f(a_1)=f(a_2)$이면 반드시 $a_1=a_2$가 되는 함수이다. 이러한 함수는 전단사(bijection)라고도 불리며, 역함수 $f^{-1}: B \rightarrow A$가 존재한다는 특징을 가진다.
정의
$f: A \rightarrow B$ 가 전단사 함수일 필요충분조건은 다음과 같다.
- 전사성: $\forall,b \in B,\ \exists,a \in A$ such that $f(a)=b$.
- 단사성: $\forall,a_1, a_2 \in A,\ f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2$.
위 두 조건을 동시에 만족하면 $f$는 전단사이며, 이때 $f$는 일대일 대응(one‑to‑one correspondence)이라고도 표현한다.
주요 성질
- 역함수 존재: 전단사 함수 $f$에 대해 역함수 $f^{-1}$가 정의될 수 있으며, $f^{-1}$ 역시 전단사 함수이다.
- 집합 크기 보존: 전단사 함수가 존재한다면 두 집합 $A$와 $B$는 같은 기수(cardinality)를 가진다.
- 합성 보존: 두 전단사 함수 $f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$의 합성 $g \circ f: A \rightarrow C$ 역시 전단사이다.
표기법
전단사 함수는 보통 $f: A \overset{\bij}{\longrightarrow} B$ 또는 $f: A \xrightarrow{\text{전단사}} B$와 같이 표기한다. 역함수는 $f^{-1}$로 표시한다.
예시
- 정수와 짝수 집합 사이
$f: \mathbb{Z} \rightarrow 2\mathbb{Z},\ f(n)=2n$ 은 전단사이다. 모든 정수 $n$에 대해 $f(n)$은 짝수이며, 짝수 $2k$에 대해 유일하게 $k$가 존재한다. - 실수 구간 $[0,1]$과 $[0,2]$ 사이
$f: [0,1] \rightarrow [0,2],\ f(x)=2x$ 은 전단사이다. - 유한 집합
두 유한 집합 ${1,2,3}$와 ${a,b,c}$ 사이의 임의의 일대일 대응도 전단사 함수에 해당한다.
관련 개념
- 단사 함수(Injection) : 전단사의 조건 중 단사성만을 만족하는 함수.
- 전사 함수(Surjection) : 전단사의 조건 중 전사성만을 만족하는 함수.
- 동형 사상(Isomorphism) : 구조를 보존하는 전단사 사상의 한 형태(예: 그룹, 벡터공간 등에서 사용).
어원 및 용어 형성
‘전단사’는 한자어 ‘全單射’에서 유래한다.
- ‘전(全)’은 “전체” 또는 “모두”를 의미하고,
- ‘단사(單射)’는 “단일히 사상한다”는 뜻으로 단사(injective)를 가리킨다.
따라서 ‘전단사’는 “전체·단일 사상”, 즉 전사와 단사를 모두 만족한다는 의미로 사용된다.
참고
전단사 함수는 수학 전 분야(대수학, 해석학, 위상수학 등)에서 기본적인 개념으로 널리 채택되고 있다. 위 내용은 표준 교재 및 학술 자료에 기반한다.