저차원 위상수학(low-dimensional topology)은 수학의 위상수학(topology) 분야 중 하나로, 4개 이하의 차원을 가진 다양체(manifold) 또는 더 일반적으로 위상 공간을 연구하는 학문이다. 대표적인 연구 주제로는 3차원 다양체 이론, 4차원 다양체 이론, 매듭 이론(knot theory), 꼬임군(braid group) 등이 있다. 이는 기하학적 위상수학(geometric topology)의 일부로 간주된다. 또한 1차원 위상 공간 연구를 지칭하는 데 사용되기도 하지만, 이는 일반적으로 연속체 이론(continuum theory)의 일부로 다루어진다.
역사적 배경
1960년대부터 시작된 여러 발전이 저차원 위상수학의 부상에 결정적 역할을 했다. 1961년 스티븐 스메일(Stephen Smale)이 5차원 이상에서 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)을 해결하면서, 3차원과 4차원이 가장 어려운 차원으로 남게 되었다. 이 차원들은 새로운 방법을 필요로 했으며, 더 높은 차원의 자유는 수술 이론(surgery theory)에서 사용 가능한 계산 방법으로 문제를 축소할 수 있음을 의미했다. 1970년대 후반 윌리엄 서스턴(William Thurston)이 제시한 기하화 추측(geometrization conjecture)은 낮은 차원에서 기하학과 위상수학이 밀접하게 얽혀 있음을 시사하는 틀을 제공했다. 1980년대 초반 본 존스(Vaughan Jones)의 존스 다항식(Jones polynomial) 발견은 매듭 이론을 새로운 방향으로 이끌었을 뿐만 아니라 저차원 위상수학과 수리물리학 사이의 연결을 낳았다. 2002년 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)은 리처드 S. 해밀턴(Richard S. Hamilton)의 리치 흐름(Ricci flow)을 사용하여 3차원 푸앵카레 추측의 증명을 발표했다.
2차원: 곡면
곡면(surface)은 2차원 위상다양체이다. 가장 친숙한 예는 3차원 유클리드 공간 R³에서 고체 물체의 경계로 나타나는 것들이다(예: 공의 표면). 반면 클라인 병(Klein bottle)과 같은 곡면은 특이점이나 자기 교차 없이 3차원 유클리드 공간에 매장될 수 없다.
닫힌 곡면의 분류 정리(classification theorem of closed surfaces)에 따르면, 모든 연결된 닫힌 곡면은 다음 세 가지 유형 중 하나와 위상동형(homeomorphic)이다: 구(sphere), g개의 원환면(torus)의 연결합(connected sum), k개의 실 사영 평면(real projective plane)의 연결합. 처음 두 유형의 곡면은 방향화 가능(orientable)하며, 세 번째 유형은 비방향화 가능(nonorientable)하다.
3차원
3차원에서는 위상적, 조각별 선형(piecewise-linear), 매끄러운(smooth) 범주가 모두 동등하므로, 위상 3차원 다양체와 매끄러운 3차원 다양체 사이에 큰 구분이 없다. 3차원에서의 현상은 다른 차원과 현저하게 다를 수 있어, 3차원보다 큰 차원으로 일반화되지 않는 매우 전문화된 기법이 널리 사용된다. 이는 매듭 이론, 기하학적 군론(geometric group theory), 쌍곡기하학(hyperbolic geometry), 수론, 타이히뮐러 이론(Teichmüller theory), 위상 양자장론(topological quantum field theory), 게이지 이론(gauge theory), 플뢰어 호몰로지(Floer homology), 편미분 방정식 등 다양한 분야와의 밀접한 연결을 발견하게 했다.
매듭 이론은 수학적 매듭에 대한 연구이다. 수학적 매듭은 3차원 유클리드 공간 R³에 원(circle)을 매장(embedding)한 것이다. 두 매듭은 R³ 자체의 변형(주변 동위, ambient isotopy)을 통해 하나를 다른 것으로 변형할 수 있으면 동등하다.
4차원
4차원 다양체는 저차원과 현저하게 대조적으로, 위상 다양체와 매끄러운 다양체가 상당히 다르다. 매끄러운 구조를 허용하지 않는 일부 위상 4차원 다양체가 존재하며, 매끄러운 구조가 존재하더라도 유일하지 않을 수 있다(즉, 위상동형이지만 미분동형(diffeomorphic)이 아닌 매끄러운 4차원 다양체가 존재한다). 4차원 다양체는 일반 상대성 이론에서 시공간이 유사 리만(pseudo-Riemannian) 4차원 다양체로 모델링되기 때문에 물리학에서도 중요하다.
별난 R⁴(exotic R⁴)는 유클리드 공간 R⁴와 위상동형이지만 미분동형이 아닌 미분 다양체이다. 4를 제외한 모든 양의 정수 n에 대해 Rⁿ에는 별난 매끄러운 구조가 없다. 즉, n ≠ 4이면 Rⁿ과 위상동형인 모든 매끄러운 다양체는 Rⁿ과 미분동형이다.
저차원 위상수학을 구별하는 주요 정리
고차원 다양체를 연구하는 데 사용되는 가장 기본적인 도구 중 많은 것이 저차원 다양체에는 적용되지 않는다. 예를 들어, 스틴로드의 정리(Steenrod's theorem)는 방향화 가능한 3차원 다양체가 자명한 접다발(tangent bundle)을 가진다고 말한다. 모든 닫힌 3차원 다양체는 4차원 다양체의 경계(boundary)이다. 또한 R⁴에 별난 매끄러운 구조가 존재한다는 사실은 저차원 위상수학의 독특한 현상을 잘 보여준다.
저차원 위상수학은 20세기 후반 이후 활발히 연구되어 온 수학의 핵심 분야 중 하나이며, 다양한 수학 분야 및 수리물리학과의 교류를 통해 계속 발전하고 있다.
