개요
자이페르트-판 캄펀 정리(Seifert–van Kampen theorem)는 대수적 위상수학에서 기본군(π₁)의 계산에 사용되는 핵심 정리이다. 두 개 이상의 열린 부분공간으로 이루어진 위 공간 X의 기본군을, 각 부분공간과 그들의 교집합의 기본군으로부터 구성할 수 있음을 알려준다.
정리 내용
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조건
- $X = U \cup V$ where $U, V$는 X의 열린(또는 경로 연결) 부분공간이다.
- $U, V, U \cap V$가 모두 비공공(공통점이 존재)이며 경로 연결이다.
- 기준점 $x_0 \in U \cap V$를 잡는다.
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정리 진술
$$ \pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(U, x_0) _{\pi_1(U \cap V, x_0)} \pi_1(V, x_0) $$ 여기서 $_{\pi_1(U \cap V, x_0)}$는 $\pi_1(U \cap V, x_0)$에 의해 동형사상(동등 사상)으로 식별된 자유곱(free product)이다. 즉, $U$와 $V$의 기본군을 자유곱으로 결합하고, 교집합의 기본군이 두 군에 주는 관계를 동시에 만족하도록 몫을 취한다. -
특수 경우
만약 $U \cap V$가 단순 연결(즉, $\pi_1(U \cap V)=0$)이면, $$ \pi_1(X) \cong \pi_1(U) * \pi_1(V) $$ 즉, 두 기본군의 자유곱이 X의 기본군이 된다.
활용 예시
| 예시 | 설명 |
|---|---|
| 원판 $D^2$와 원 $S^1$의 합성 | $D^2$와 $S^1$을 겹치게 하면 교집합은 원판 내부의 원으로 단순 연결이다. 따라서 $\pi_1$는 $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$와 동일하다. |
| 2차원 토러스 $T^2$ | 토러스를 두 개의 열린 원기둥 $U, V$로 나누면 각각의 기본군이 $\mathbb{Z}$이며, 교집합의 기본군도 $\mathbb{Z}$다. 정리를 적용하면 $\pi_1(T^2) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$가 얻어진다. |
| 웨이스트(figure‑eight) 공간 | 두 원을 교점에서 만나는 형태를 $U, V$가 각각 하나의 원을 포함하도록 잡으면, 정리를 이용해 $\pi_1$가 자유군 $F_2$임을 확인한다. |
증명 개요
- 경로 호모토피: 기준점 $x_0$에서 시작하는 경로들을 각각 $U, V$ 안으로 끌어올 수 있음을 이용한다.
- 그룹 생성: $\pi_1(U), \pi_1(V)$를 각각 자유군의 생성원으로 생각하고, 교집합에 대한 관계를 부여한다.
- 범용성: 주어진 조건을 만족하는 모든 군 $G$와 사상 $\phi_U: \pi_1(U)\to G, \phi_V: \pi_1(V)\to G$가 교집합에서 일치하면,唯一하게 $\pi_1(X)$에서 $G$로 가는 사상이 존재한다는 범주적 특성을 보인다.
관련 개념
- 자유곱(free product)
- 퐁카레(π₁)
- 경로 연결성(path‑connectedness)
- 대수적 위상수학(algebraic topology)
참고문헌
- H. Seifert & W. van Kampen, Topologie I, Springer, 1950.
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, Chap. 1, § 1.2.
- J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000, Chap. 54.
비고
본 정리는 위상공간을 복잡한 구조로 분해하고, 각 부분의 기본군을 이용해 전체 공간의 기본군을 체계적으로 계산할 수 있게 해 준다. 위의 조건을 만족하지 않을 경우 정리가 직접 적용되지 않으며, 다른 기법(예: covering space 이론, 고차 호몰로지)을 필요로 할 수 있다.
