자유 아벨 군(自由アベル群, free abelian group)은 군론에서 모든 원소가 기저(basis)라 불리는 부분집합의 원소들의 정수 배수 선형 결합으로 유일하게 표현되는 아벨 군이다. 즉, 자유 아벨 군은 어떤 집합 위에 정의된 자유 아벨 군 함자(free abelian group functor)에 의해 생성되는 아벨 군의 범주에서의 자유 대상(free object)이다.
정의와 기본 성질
집합 $S$가 주어졌을 때, $S$ 위에 생성된 자유 아벨 군 $F(S)$는 다음과 같은 보편적 성질(universal property)을 만족한다.
- $S$에서 $F(S)$로의 자연스러운 매장(embedding) $i: S \hookrightarrow F(S)$가 존재한다.
- 임의의 아벨 군 $A$와 임의의 함수 $f: S \to A$에 대해, $f = \tilde{f} \circ i$가 되는 유일한 군 준동형 $\tilde{f}: F(S) \to A$가 존재한다.
구체적으로 $F(S)$는 $S$의 원소들을 기저로 하는 형식적 정수 선형 결합들의 집합으로 구성된다. 즉, $F(S)$의 원소는 $\sum_{s \in S} n_s s$ 꼴의 유한 합으로, 여기서 $n_s \in \mathbb{Z}$이고 유한 개만 0이 아니다. 군 연산은 성분별 덧셈이다.
주요 특징
- 기저의 존재: 모든 자유 아벨 군은 기저를 가지며, 두 기저의 크기(카디널리티)는 같다. 이 크기를 자유 아벨 군의 계수(rank)라 부른다.
- 직합 분해: 기저의 크기가 $\kappa$인 자유 아벨 군은 정수 군 $\mathbb{Z}$의 $\kappa$개 사본의 직합(직접 합)과 동형이다. 즉, $F(S) \cong \bigoplus_{s \in S} \mathbb{Z}$.
- 자유 군과의 관계: 자유 아벨 군은 자유 군(free group)을 아벨화(abelianization)하여 얻는다. 즉, 집합 $S$ 위의 자유 군 $F_{free}(S)$의 교환자 부분군(commutator subgroup)으로 몫을 취하면 $F(S)$를 얻는다.
- 사영적 대상: 아벨 군의 범주에서 자유 아벨 군은 사영적 대상(projective object)이다. 즉, 모든 자유 아벨 군은 사영적 분해(projective resolution)의 첫 항으로 사용될 수 있다.
예시
- 덧셈군 $\mathbb{Z}$는 한 원소 집합 ${1}$ 위에 생성된 자유 아벨 군이다.
- 격자(lattice) $\mathbb{Z}^n$은 유한 계수 $n$인 자유 아벨 군이다.
- 모든 유한 생성 아벨 군은 유한 계수 자유 아벨 군과 유한 아벨 군의 직합으로 분해된다(유한 생성 아벨 군의 기본 정리).
관련된 개념
- 자유 군 (Free group): 아벨 조건이 없는 일반적인 자유 대상.
- 자유 가군 (Free module): 환 $R$ 위의 가범주에서의 자유 대상으로, $R=\mathbb{Z}$일 때 자유 아벨 군과 일치한다.
- 분해 가능한 군 (Divisible group): 자유 아벨 군의 쌍대적 성격을 띠는 아벨 군의 클래스.
