자연로그의 밑(base of the natural logarithm)은 무리수 상수로, 기호 e로 표기하며 근삿값은 약 2.71828 18284 59045 23536 02874 ...이다. 네이피어 상수(Napier's constant), 오일러 수(Euler's number), 자연상수 등으로도 불리나, 이들 명칭은 모두 비공식 용어이며 정식 수학 용어는 "자연로그의 밑"이다.
정의
자연로그의 밑 e는 여러 동등한 방식으로 정의된다.
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극한에 의한 정의 (야코프 베르누이의 방법):
$$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ -
정적분에 의한 정의: 곡선 $y = \frac{1}{x}$, x축, $x=1$, $x=t$로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이 될 때의 t값이다.
$$ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1 $$ -
무한급수에 의한 정의 (테일러 급수):
$$ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots $$
성질
e는 무리수이자 초월수이다. 즉, 두 정수의 비로 나타낼 수 없으며, 유리수 계수를 갖는 어떤 다항방정식의 해도 될 수 없다. e가 초월수임은 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)에 의해 증명되었다.
지수함수 $f(x) = e^x$는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 함수(상수배 무시)이다. 즉, $$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$ 이며, 자연로그 $\ln x$의 도함수는 $\frac{1}{x}$이다.
역사
e의 값이 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어(John Napier)가 발간한 로그표이다. 그러나 네이피어는 이를 특별한 상수로 취급하지는 않았다.
e가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli)로, 복리 이자 계산의 극한 문제를 연구하던 중 위의 극한값이 수렴함을 발견하였다. 이 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)로, 1690~1691년경 편지에서 "b"로 표기하였다.
레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 1727~1728년 사이에 이 상수를 e로 표기하기 시작하였으며, 1736년 출판된 저서 《메카니카》(Mechanica)에서 e라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장하였다. 이후 e로 표기하는 것이 관례가 되었다.
활용
e는 수학 전반뿐 아니라 물리학, 화학, 경제학 등 다양한 분야에서 사용된다.
- 복리 계산: 연속 복리에서 원리합계의 극한값으로 e가 등장한다.
- 오일러의 공식: $e^{ix} = \cos x + i \sin x$로, 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 나타낸다. 여기에 $x = \pi$를 대입하면 오일러의 등식 $e^{i\pi} + 1 = 0$이 얻어진다.
- 자연과학: 볼츠만의 엔트로피 공식 $S = k \cdot \ln g$, 화학 반응 속도식 등에 자연로그가 사용된다.
- 소수 정리: 1부터 x까지의 소수의 개수 $\pi(x)$는 $\frac{x}{\ln x}$에 점근한다.
