정의
자기회귀모형(Autoregressive model, 약칭 AR model)은 시계열 자료를 설명하거나 예측하기 위해 사용되는 통계적 모델 중 하나로, 현재 시점의 관측값을 과거 몇 시점의 관측값들의 선형 결합으로 표현한다. 즉, 시계열 $ {X_t} $가 $ p $ 차 자기회귀모형을 따른다면 다음과 같은 형태를 가진다.
$$ X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t, $$
여기서 $ \phi_1,\dots,\phi_p $는 모형 계수이며, $ \varepsilon_t $는 평균이 0이고 분산이 일정한 백색잡음(white noise)이다.
수학적 성질
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 모형 차수 | 차수 $p$는 사용되는 과거 시점의 개수이며, 차수가 클수록 모형은 복잡해진다. |
| 정상성 | 자기회귀모형이 정상(stationary)하려면 특성다항식 $1 - \phi_1 z - \dots - \phi_p z^p = 0$의 근이 복소평면의 단위원 안에 존재해야 한다. |
| 예측 | 한 단계 예측은 과거 관측값에 계수를 곱한 합으로 계산되며, 다단계 예측은 추정된 미래값을 재귀적으로 사용한다. |
| 추정 방법 | 최소제곱법(OLS), 최대우도법(ML), Yule‑Walker 방정식 등 다양한 방법으로 계수를 추정한다. |
주요 활용 분야
- 경제·금융: 금리, 주가, 환율 등 금융 시계열의 변동성 분석 및 단기 예측.
- 기상학: 온도, 강수량 등 기후 변수의 시계열 모델링.
- 공학: 신호 처리, 제어 시스템에서 잡음 모델링 및 시스템 식별.
- 사회과학: 인구, 범죄율 등 사회 현상의 시간적 추세 분석.
관련 모델
- ARMA(자기회귀 이동평균) 모형: 자기회귀와 이동평균 요소를 동시에 포함한다.
- ARIMA(차분 자기회귀 이동평균) 모형: 비정상 시계열에 차분(differencing) 절차를 추가하여 정상성을 확보한다.
- VAR(벡터 자기회귀) 모형: 다변량 시계열을 동시에 모델링한다.
참고
자기회귀모형은 시계열 분석의 기본적인 틀 중 하나로, 많은 통계·계량경제학 교재와 실무 분석 도구(예: R의 ar, forecast 패키지, Python의 statsmodels.tsa.ar_model)에서 구현 및 활용되고 있다.
이 항목은 공개된 학술 자료와 표준 통계 교과서에 기반하여 작성되었으며, 현재까지 확인된 내용에 한정한다.