임펄스벡터(impulse vector, 일명 강벡터 Kang vector)는 잔류진동(residual vibration)을 제거하기 위한 입력성형기(input shaper)를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용하는 수학적 도구이다. 제어공학, 특히 유연 시스템의 진동 제어 분야에서 활용되는 개념으로, 비감쇠시스템(undamped system)과 부족감쇠시스템(underdamped system) 모두에 적용할 수 있으며, 양의 임펄스(positive impulse)와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해서도 동일한 방식으로 적용 가능하다.
정의
비감쇠 고유진동수가 ωn, 감쇠비가 ζ인 이차시스템에 대해, 임펄스함수 Aiδ(t−ti)에 해당하는 임펄스벡터 Ii의 크기 Ii와 각도 θi는 2차원 극좌표계에서 다음과 같이 정의된다.
- Ii = Ai·e^(ζωn·ti)
- θi = ωd·ti
여기서 Ai는 임펄스함수의 크기, ti는 임펄스함수의 시간 위치, ωd는 감쇠고유진동수(ωn√(1−ζ²))를 나타낸다. 양의 임펄스(Ai>0)에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 음의 임펄스(Ai<0)에 대한 임펄스벡터는 종점이 원점에 위치한다.
임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 각도는 임펄스시간을 결정한다. 두 개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도(impulse vector diagram)라고 하며, 이는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이다. 임펄스벡터는 교환법칙, 결합법칙, 스칼라곱에 대한 분배법칙을 만족한다.
주요 성질
임펄스벡터의 핵심 성질은 다음과 같다. 첫째, 두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. 둘째, 임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은 마지막 임펄스시간 이후에 0이 되어 잔류진동이 제거된다.
적용
임펄스벡터는 기존의 ZV(zero vibration) 성형기, ZVD(zero vibration and derivative) 성형기, ZVDn 성형기, ETM(equal shaping-time and magnitudes) 성형기, NMe(negative equal-magnitude) 성형기 등 다양한 입력성형기를 도해적으로 설계하는 데 사용된다. 예를 들어 ZV 성형기는 두 개의 임펄스벡터를 0°와 180°에 배치하여 합벡터가 0이 되도록 구성하며, ZVD 성형기는 세 개의 임펄스벡터를 0, π, 2π rad에 크기비 1:2:1로 배치하여 설계한다.
역사
입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose가 처음 제안하였다. 이후 강철구(C.-G. Kang)가 이 벡터 개념을 일반화하여 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 모두 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다. 이 연구는 2019년 IEEE Control Systems Magazine에 게재되었으며, 한국어 위키백과와 영어 위키백과에 별도의 문서로 등재되어 있다.
