임계점(臨界點, 영어: critical point)은 집합론, 특히 큰 기수(large cardinal) 이론에서 사용되는 개념으로, 주어진 기본 매장(elementary embedding)이 보존하지 못하는 최소의 순서수(ordinal)를 가리킨다.
정의
집합론의 언어 $\mathcal{L}\in$를 생각하자. 추이적 집합(transitive set) $X$, $Y$ 사이의, $\mathcal{L}\in$ 언어의 기본 매장 $j: X \to Y$를 고려한다. 이때 $j$는 $X$에 속한 집합만을 사용한 $\mathcal{L}_\in$ 공식으로 정의된다고 가정한다.
이러한 기본 매장 $j$는 순서수를 순서수로 대응시키며, 순증가 함수이고, $\omega$는 그 고정점이다. 이 경우 $j$의 임계점은 $j$의 고정점인 최소의 순서수로 정의된다. 즉,
$$ \operatorname{crit}(j) = \min{\alpha \in X \cap \operatorname{Ord} : j(\alpha) = \alpha} $$
이다. 다시 말해, 임계점은 $j(\alpha) = \alpha$를 만족하는 최소의 순서수 $\alpha$이다. 만약 $j(\alpha) = \alpha$가 모든 $\alpha < \kappa$에 대해 성립하고 $j(\kappa) > \kappa$라면, $\kappa$를 $j$의 임계점이라고 한다.
성질
$X$가 폰 노이만 전체 $V$라고 한다면, 기본 매장 $j: V \to Y$의 임계점은 항상 가측 기수(measurable cardinal)이다. 구체적으로, ${A \subseteq \operatorname{crit}(j) : \operatorname{crit}(j) \in j(A)}$ 형태의 집합족을 통해 가측 기수를 정의하는 극대 필터(ultrafilter)를 구성할 수 있다.
기본 매장의 임계점 개념은 여러 큰 기수 개념을 정의하는 데 사용된다. 예를 들어:
- 가측 기수(measurable cardinal): 임의의 기본 매장 $j: V \to M$의 임계점.
- $n$-초강기수(superstrong cardinal): $V_{j^n(\kappa)} \subseteq M$을 만족하는 기본 매장의 임계점.
- $n$-거대 기수(huge cardinal): $^{j^n(\operatorname{crit}(j))}M \subseteq M$을 만족하는 기본 매장의 임계점. 0-거대 기수의 개념은 가측 기수의 개념과 동치이다.
또한 초콤팩트 기수(supercompact cardinal), 강기수(strong cardinal), 우딘 기수(Woodin cardinal) 등도 기본 매장의 임계점과 관련된 조건을 통해 정의된다.
의의
임계점의 개념은 현대 집합론에서 큰 기수 이론의 핵심적인 도구이다. 기본 매장의 임계점이 큰 기수임을 보일 수 있으며, 목표 모형(target model)이 $V$에 얼마나 유사한지를 요구함에 따라 더 강한 기수 개념들이 얻어진다. 이 개념은 가측 기수, 초강기수, 거대 기수, 초콤팩트 기수, 강기수, 우딘 기수 등 다양한 큰 기수 개념을 통일적으로 이해하는 데 기여한다.
