정의
일반화된 f-평균(Generalized f‑mean)은 실수값을 갖는 연속이고 단조인 함수 $f$에 대해, 실수들의 집합 ${x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$에 대하여
$$
M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n}) ;=; f^{-1}!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\right)
$$
로 정의되는 평균이다. 여기서 $f^{-1}$는 $f$의 역함수를 의미한다.
개요
일반화된 f‑평균은 “quasi‑arithmetic mean”(준산술 평균) 또는 “Kolmogorov–Nagumo 평균”이라고도 불리며, 1930년대에 안드레이 콜모고로프와 나구모 히데키가 제안한 일반화된 평균 개념이다. 함수 $f$의 선택에 따라 다양한 기존 평균(산술 평균, 기하 평균, 조화 평균 등)을 포함한다는 점에서 ‘일반화된’이라는 명칭이 붙는다.
어원/유래
- ‘f‑mean’에서의 ‘f’는 평균을 정의할 때 사용되는 함수 $f$를 가리킨다.
- ‘generalized’는 1930년대 콜모고로프와 나구모가 제시한 “연속 단조 함수에 대한 평균”이라는 일반적인 틀을 의미한다.
- 한국어에서는 ‘일반화된 f‑평균’ 혹은 ‘f‑평균’이라는 번역이 학술 논문과 교재에서 가끔 사용된다.
특징
- 특정 함수에 대한 특수 평균
- $f(x)=x$ → 산술 평균 $A$
- $f(x)=\log x$ (정의역 $x>0$) → 기하 평균 $G$
- $f(x)=1/x$ (정의역 $x eq0$) → 조화 평균 $H$
- 단조성 보존
- $f$가 증가함수이면 $M_{f}$는 입력값이 클수록 평균도 커지는 성질을 유지한다.
- 동형 사상
- 두 평균 $M_{f}$와 $M_{g}$는 $g = h \circ f$인 경우, $M_{g}$는 $M_{f}$에 대한 함수 변환으로 표현될 수 있다.
- 연속성 및 대칭성
- 입력값 순서에 관계없이 동일한 값을 반환한다(대칭성).
- $f$가 연속이면 $M_{f}$ 역시 연속이다.
- 극한 관계
- $f(x)=x^{p}$ ( $p eq0$ )인 경우, $M_{f}$는 전통적인 ‘p‑평균’(power mean)과 동일하며, $p\to0$일 때 기하 평균, $p\to\pm\infty$일 때 최대·최소값으로 수렴한다.
관련 항목
- 산술 평균
- 기하 평균
- 조화 평균
- 전반 평균(대수 평균, 지수 평균 등)
- Kolmogorov–Nagumo 평균
- 퀘이시‑산술 평균(Quasi‑arithmetic mean)
- 전형 평균(Power mean)
본 항목은 일반화된 f‑평균이 수학적 문헌에서 인정받는 개념이며, 위와 같은 정의와 특성을 가지고 있다는 사실을 기반으로 작성하였다.