일반화된 f-평균(generalized f-mean)은 수학과 통계학에서 산술평균, 기하평균, 조화평균 등 여러 종류의 평균을 하나의 함수 $f(x)$를 사용하여 일반화한 개념이다. 준산술평균(quasi-arithmetic mean), 콜모고로프 평균(Kolmogorov mean), 또는 콜모고로프-나구모-데 피네티 평균(Kolmogorov-Nagumo-de Finetti mean)이라고도 불리며, 소비에트 수학자 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)의 이름에서 유래하였다.
정의
실수 축 위의 연결된 부분집합 $S$를 실수로 대응시키는 함수 $f$가 주어지고, 이 $f$가 연속(continuous)이면서 단사 함수(injective function)일 때, $n$개의 수 $x_1, x_2, \dots, x_n$의 f-평균은 다음과 같이 정의된다.
$$ \bar{x} = f^{-1}\left( \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n} \right) $$
즉, 각 데이터에 함수 $f$를 적용한 값들의 산술평균을 구한 뒤, 그 결과에 $f$의 역함수 $f^{-1}$를 적용하여 원래 스케일로 되돌리는 방식이다. $f$가 연속이고 단사이므로 강한 단조 증가 함수이며, 따라서 f-평균은 데이터의 최댓값보다 크지 않고 최솟값보다 작지 않다.
주요 예시
| 함수 $f(x)$ | 정의역 | 대응되는 평균 |
|---|---|---|
| $f(x) = x$ (또는 임의의 선형함수 $ax+b$) | 실수 전체 $\mathbb{R}$ | 산술평균 |
| $f(x) = \log_b x$ | 양의 실수 $\mathbb{R}^+$ | 기하평균 (밑 $b$에 무관) |
| $f(x) = x^{-1}$ | 양의 실수 $\mathbb{R}^+$ | 조화평균 |
| $f(x) = x^p$ | 양의 실수 $\mathbb{R}^+$ | 멱평균(power mean, $p=2$일 때 제곱평균제곱근(RMS)) |
| $f(x) = \exp(x)$ | 실수 전체 $\mathbb{R}$ | LogSumExp(LSE) 함수와 로그 세미링에서의 평균 |
성질
일반화된 f-평균은 다음과 같은 성질을 만족한다.
- 대칭성(Symmetry): 입력값의 순서를 바꾸어도 결과가 같다.
- 멱등성(Idempotency): 모든 입력값이 동일한 $x$이면 평균도 $x$이다.
- 단조성(Monotonicity): 각 입력값에 대해 단조 증가한다.
- 연속성(Continuity): 각 입력값에 대해 연속이다.
- 대체성(Replacement): 일부 원소들을 그 평균으로 대체해도 전체 평균이 변하지 않는다(단, 다중성은 유지되어야 함).
- 분할성(Partitioning): 동일한 크기의 부분 블록으로 나누어 계산할 수 있다.
- 척도 불변성(Scale-invariance): $f$에 대한 아핀 변환($p(t) = a + b \cdot q(t)$, $b eq 0$)은 평균값을 변화시키지 않는다.
역사
이 개념은 1930년대 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov), 나구모(M. Nagumo), 브루노 데 피네티(Bruno de Finetti)에 의해 독립적으로 연구되었다. 콜모고로프는 대칭성, 고정점(멱등성), 단조성, 연속성, 대체성의 다섯 가지 성질이 준산술평균을 완전히 특징짓는다는 것을 증명하였다.
일반화된 평균(멱평균)과의 차이
일반화된 f-평균(준산술평균)은 멱평균(power mean, generalized mean, Hölder mean)과는 다른 개념이다. 멱평균은 $M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}$의 형태로 정의되며, 이는 $f(x) = x^p$인 특수한 경우에 해당한다. 일반화된 f-평균은 이보다 더 넓은 범위의 함수를 허용하는 더 포괄적인 일반화이다.
같이 보기
- 멱평균 (일반화된 평균)
- 산술평균, 기하평균, 조화평균
- 옌센 부등식 (Jensen's inequality)
- 로그섬지수 (LogSumExp)
