이항식(二項式, binomial)은 대수학에서 두 개의 항(term)으로 이루어진 다항식을 말한다. 일반적으로 $ax^n + by^m$과 같은 형태를 띠며, 여기서 $a, b$는 계수, $x, y$는 변수, $n, m$은 음이 아닌 정수 지수이다. 두 항은 덧셈 또는 뺄셈으로 연결된다.
정의 및 예시 단항식(한 개의 항), 삼항식(세 개의 항)과 함께 다항식을 항의 개수에 따라 분류할 때 사용되는 용어이다.
- 예: $x + y$, $3a^2 - 5b$, $x^2 + 2x$ (단, $x^2 + 2x$는 $x(x+2)$로 인수분해되기 전 형태로는 이항식이나, 보통 $x^2 + 2x$ 자체를 이항식으로 분류함)
주요 성질 및 관련 정리
- 이항 정리(Binomial Theorem): 이항식 $(x+y)^n$을 전개할 때 각 항의 계수가 이항 계수 $\binom{n}{k}$로 주어진다는 정리이다. $$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $$
- 이항 분포(Binomial Distribution): 확률론에서 이항식의 전개와 밀접한 관련이 있는 이산 확률 분포이다.
- 인수분해: 이항식 중 제곱의 차($a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$), 세제곱의 합/차 등의 공식이 성립하는 경우가 있어 인수분해의 기본 대상이 된다.
용어의 유래 한자어 '두 이(二)', '항 항(項)', '셈 식(式)'이 합쳐진 말로, 문자 그대로 '두 개의 항으로 된 식'을 의미한다. 영어 'binomial'은 라틴어 'bi-(두 개의)'와 'nomen(이름, 항)'에서 유래했다.
