정의
이항 분포(英: binomial distribution)는 고정된 횟수 $n$의 독립적인 베르누이 시행(each trial)에서 성공 횟수 $k$가 나타날 확률을 나타내는 이산 확률 분포이다. 각 시행에서 성공할 확률을 $p$라고 하면, 성공 횟수 $k$는 $0 \le k \le n$ 범위의 정수이며 그 확률 질량 함수(PMF)는
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{,n-k} $$
여기서 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$는 이항 계수이다.
주요 특성
| 속성 | 설명 |
|---|---|
| 평균 (Expected value) | $\displaystyle \mathbb{E}[X] = n p$ |
| 분산 (Variance) | $\displaystyle \operatorname{Var}(X) = n p (1-p)$ |
| 모멘트 생성 함수 (MGF) | $M_X(t) = \bigl(1-p + p e^{t}\bigr)^{n}$ |
| 특수 경우 | $p = 0.5$이면 대칭 형태, $n = 1$이면 베르누이 분포와 동일 |
조건
- 시행 수 고정: 전체 시행 횟수 $n$은 변하지 않는다.
- 독립성: 각 시행은 서로 독립적이다.
- 동일 성공 확률: 모든 시행에서 성공 확률 $p$는 동일하다.
- 두 가지 결과: 각 시행은 성공 혹은 실패 두 가지 결과만을 가진다(베르누이 시행).
응용 분야
- 품질 관리: 불량품 수의 확률 분석
- 임상 시험: 치료 성공 환자 수 예측
- 금융: 투자 전략에서 성공 거래 횟수 모델링
- 교육: 시험에서 정답 개수 확률 계산
관련 분포
- 베르누이 분포: $n = 1$인 경우.
- 다항 분포: 성공/실패가 두 가지 이상인 경우의 일반화.
- 포아송 근사: $n$이 크고 $p$가 작을 때 $X \sim \text{Bin}(n, p)$는 $\text{Poisson}(\lambda = np)$로 근사 가능.
참고 문헌
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, 1968.
- Casella, G., Berger, R. L. Statistical Inference. Cengage Learning, 2002.
- 한국통계학회, 통계학 교재, 2020.
부연 설명
이항 분포는 확률 이론과 통계학에서 가장 기본적인 이산 분포 중 하나이며, 이론적 분석뿐 아니라 실험 데이터의 모델링에도 널리 사용된다.
